Google

This is a digital copy of a book that was preserved for generations on library shelves before it was carefully scanned by Google as part of a project to make the world's books discoverable online.

It has survived long enough for the copyright to expire and the book to enter the public domain. A public domain book is one that was never subject to copyright or whose legal copyright term has expired. Whether a book is in the public domain may vary country to country. Public domain books are our gateways to the past, representing a wealth of history, culture and knowledge that's often difficult to discover.

Marks, notations and other marginalia present in the original volume will appear in this file - a reminder of this book's long journey from the publisher to a library and finally to you.

Usage guidelines Google is proud to partner with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to the

public and we are merely their custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing this resource, we have taken steps to prevent abuse by commercial parties, including placing technical restrictions on automated querying.

We also ask that you:

Ἔ Make non-commercial use of the files We designed Google Book Search for use by individual personal, non-commercial purposes.

and we request that you use these files for

Ὁ Refrain from automated querying Do not send automated queries of any sort to Google's system: If you are conducting research on machine translation, optical character recognition or other areas where access to a large amount of text is helpful, please contact us. We encourage the use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

Ἢ Maintain attribution The Google "watermark" you see on each file is essential for informing people about this project and helping them find additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

* Keep it legal Whatever your use, remember that you are responsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just because we believe a book is in the public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other countries. Whether a book is still in copyright varies from country to country, and we can't offer guidance on whether any specific use of any specific book is allowed. Please do not assume that a book's appearance in Google Book Search means it can be used in any manner anywhere in the world. Copyright infringement liability can be quite severe.

About Google Book Search

Google's mission is to organize the world's information and to make it universally accessible and useful. Google Book Search helps readers discover the world's books while helping authors and publishers reach new audiences. You can search through the full text of this book on the web a[nttp: //books . google. con/]

OC mouent va:

ARCHIMEDIS

OPERA OMNIA.

f4925£ CUM COMMENTARIIS EUTOCI.

E CODICE FLORENTINO RECENSUIT, LATINE UERTIT

NOTISQUE ILLUSTRAUIT

J. L. HEIBERG

DR. PHIL.

UOLUMEN II.

EE

LIPSIAE IN AEDIBUS B. G. TEUBNERI.

MDCCCLXXXI.

LIPSIAE: TYPIS B. G. TEUBNERI.

PRAEFATIO.

Cum in uolumine primo satis, ut opinor, de con- silio, genere adiumentisque huius editionis praefatus sim, huie praefationi nihil relinquitur, nisi ut pauca quaedam uel addam uel corrigam.

In adnotatione igitur critica uoluminis I haec addantur, de quibus postea demum, quam prodierat uolumen illud, ab Henrico Lebégue certior factus sum:

I p. ὅθ, 17 etiam in A est περιφερείας; quare scrib. ,corr. ed. Dasil.^.

I p. 116, 2 post ,ed. Basil^ ponenda erat stellula (nam ubi stellula nomini editoris recen- tioris adponitur, hoc significatur, codices Parisinos denuo inspectos cum cod. Flo- rentino congruere).

] p. 122, 1 post ,uulgo^ stellula ponatur.

I p. 132, 13 deleatur ,corr. ed. Basil" nam in omni- bus codd. est τό (excepto Florentino).

] p. 132, 18 post ,,ed. Basil" ponatur stellula.

I p. 150,. ὃ post ,ed. Basil^ ponatur stellula.

I p. 190, 19 pro ,corr. ed. Basil^ scribatur ,corr. .B manu 2**,

I p. 216, 17 cod. C prorsus idem habet, quod JF. in DB ita scribitur: ἡ βδ πρὸς Óy: ὥστε xal ὡς τὸ ἀπὸ κλ πρὸς ÀÓ ἡ BÓ πρὸς δχ᾽ ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ xA cet.

I p. 452, 20 οὔτε cum omnibus codd. Parisinis reci- piendum erat.

postremum moneo, sicubi signum interrogationis scrip-

turae cod. Florentini adponatur, hoc non significari,

me de collatione mea dubitare, sed codicem ipsum lectu difficilem esse, ita ut prorsus certo dignosci ne-

IV PRAEFATIO.

queat, quae sit scriptura eius. unus tamen locus ex- cipiendus est II p. 352, 19. ibi enim ad Torellii scrip- turam τμάματος nihil:e cod. Florentino adnotaui; sed cum ei ante eli post in eadem pagina legamus τμῆμα, non dubito, quin errauerim, et hoc quoque loco ἡ in cod. Florentino reperiatur.

In uolumine altero p. 359 sq. recepi interpretatio- nem Tartaleae librorum, qui sunt περὶ ὀχουμένων, quia intellexeram, Commandinum suo Marte plurima mutasse, ita ut forma genuina, in qua libri illi nobis traditi sunt, ex Tartalea solo cognosci possit. itaque eum liber eius satis rarus sit, interesse putaui, ut denuo cum fide ederetur quasi fundamentum hosce libros emendandi. sed hac ipsa re accidit, ut libri illi forma corruptissima et ila, αὖ interdum intellegi non possint, prodirent. sed cum intellexerim, eos tam fideliter e Graeco conuersos esse, ut pristina forma ubique fere adpareat, constitui, postea aliquando, si otium mihi contigerit, hos libros Graece conuertere. ium demum licebit de lacunis explendis et erroribus plurimis foedissimisque corrigendis seuere cogitare. dum hoc fiat, habitu barbaro et dilacerato, quo ad nos peruenerunt, hic quoque prodeant. hoc loco inler- ponere libet, quae Carolus Thurot u. d. ad emen- dandos libros illos contulit (Recherches sur le prin- cipe d'Archiméde. Revue archéologique 1868— 69). II p. 356, 4: ὠϑεῖσϑαι}) delet C. Thurot.

II p. 356, 6: πάντων αὐτοῦ μερῶν] πάντα δὲ τὰ av- τοῦ μέρη idem.

II p. 357, 10: ἐσοβαρῆ iam suspicatus est Thurot. |

II p. 358, 10: καταβαίνωσι] καταβῶσι idem.

II p. 358, 2: ἐἰσοβαρῆ iam Thurot.

praeterea in uerbis Tartaleae eitandis saepe ea uel cor-

rigit uel explicat additis Graecis , in quo saepe in

—— 50 0———M——— — — — ———— --- --- — —mrT-— B

PRAEFATIO. V

eadem incidit, quae ego in adnotationibus posui de lacuna p. 369, 5 haec habet: peut-étre y avait-il: en effet, si a n'était pas entiérement au-dessous de la surface, le volume du liquide égal à la portion plon- gée aurait un poids moindre que ad. idem uir doctus (Revue critique 1880 nr. 2) quaestionem obscuram ac difficilem, utrum Tartalea ipse codicem Graecum ha- buerit necne, ita soluere conatur, ut putet, libros illos Tartaleae causa ab homine Graecae linguae satis pe-

rito, sed qui mathematicam non calleret, e Graeco

conuersos esse. praeterea consensum Thuroti (Recher- ches etc. p. 12 not. 2) de auctoritate editionis Tar- ialeae laetus commemoro, de qua ita iudicat: nous monirerons plus bas que cette publication est la seule base authentique qui puisse jusqu'ici servir à établir le texte de ce traité d'Archiméde. — sero animaduerti, pro littera X usurpandam fuisse litteram ἂν, ut fecit Commandinus; nam apud Tartaleam haec littera, quae saepius formam litterae c prae se fert, interdum ta- men litterae *77 simillima est, ita αὖ uerl simile sit, Tartaleam semper hanc litteram reddi uoluisse.

De lemmatis hoc addendum uidetur, Mauritium Cantor (Vorlesungen über d. Gesch. der Math. p. 255 —bD'T) nuper pluribus de quibusdam eorum propositio- nibus egisse. quae Curtizius et Steinschneiderus de huius libri apud Árabes fatis disputauerunt, breui re- censere in animo mihi est.

De codice Parisino problematis bouini e litteris Henrici Lebégue haec cognoui codex Graecus 2448 inter alia hoc epigramma ei id quidem tertio loco continet. de eo in Catalogo codd. mss. bibliothecae regiae II p. 504 haec leguntur:

MMCDXLVIII. ,— 99. Archimedis supposititia ad Eratosthenem

VI PRAEFATIO.

epistola sive problema Alexandrinis versibus scriptum de bobus solis sacris —.

Codex bombycinus, olim Colbertinus.

Is codex saeculo decimo quarto exaratus videtur". conspectus scripturae discrepantiae, in quo de accenti- bus et « subscripto (quod saepe omittitur) tacui, hic est:

u. 4: δασσαμένη) δασαμένη cod. Paris. 2448. 5: ἀλάσσοντα] alterum c supra Paris. 2448. 12: τετράτῳ τε] sic cod. Paris. 2448. 18: πᾶσιν] sic. cod. Paris. 2448. 16: αὖτις] αὐτούς. 16: ἐσαξομένους] ἐδαιομένους. 19: τετφάτῳ] sic. 20: τευτράτῳ] sic. 22: πάσης] πάσαιρ. 22: ἐρχομένης] ἐρχομέναις. 98: ἀγέλης] δ᾽ ἀγέλης (et sic Struuius). : τετραχῇ] τετραχεῖ. 21: βοῶν] βόες. 29: χρῶμα] χροιάν. 30: λέγοι᾽] λέγοιο. 81: ἐναρίϑιμιος] sic. 88: ἀμβολάδην] ἀμβολάνδην. 40: οὔτ᾽ ἐπιλειπομένων]) οὔτ᾽ πιλειπομένων. 41: πραπίδεσσιν] πραπίδεσσιν. 41: ἀϑροίσας] ἀϑρήσας. 49: ὦ ξένε] Ectve τά. 44: ταύτῃ] ταύτης. hoe problema Archimedi re uera tribuendum esse, quamquam dubitari possit, an ipsi uersiculi ab eo con- scripti non sint (quod ipse admiseram Quaest. Archim. p. 26 not. 1), etiam Krumbiegelius censet; quem de explicando uerbo πλίνϑου u. 36 (si modo explicari potest) mecum consentire (l l p. 134) gaudeo. sed

PPPEPEPEPHEPEPPPEBPPEPEPEBERE bo NS

PRAEFATIO. VII

in eo sententiam meam minus recte intellexit, quod putauit, me causis a me adlatis demonstrare uoluisse, Archimedem huius epigrammatis auctorem esse. nam hoe solum ostendere conatus sum, nihil esse, cur ab eo discederemus, quod iraditum est, his uersibus con- tineri problema ab Archimede propositum. de re ap- tissime me monuit L. Oppermannus, eo quoque confir- mari originem problematis Archimedeam, quod numeri iam scite electi sint, ut cito ad ingentes numeros per- ueniatur, in quo ipso auctor problematis praecipuam eius difficultatem inesse uoluerit. coniecturam meam in u. 24: ποικίλη ἰσάριϑμον πλῆϑος ἔχουσ᾽ ἐφάνη, quam palaeographice explicare posse uideor, tamen nunc improbaui, quia ποικίλη tum de grege vaccarum variarum, non de toto grege vario, accipiendum erat, quod fieri uix potest. — etiam iudicium Mauritii Can- tor u. d. de hoc problemate adferre iuuat: Vorlesungen über d. Gesch. d. Math. I p. 268: Zu einem Ergeb- nisse kommen wir allerdings auch hier: dass nümlich ein Grund das Rinderproblem darum für untergescho- ben zu erklüren, weil Archimed es nicht habe lósen kónnen, in keiner Weise vorliegt.

Inter fragmenta catoptricorum recipere potueram Michaelis Pselli locum in synopsi mathemat. p. 73 ed. Xylandri: δυνατὸν uévtf καὶ ἄλλως ἀπορίᾳ διόπτρας τῇ μεϑόδῳ χρήσασθαι, καϑὰ δήπου καὶ ᾿Α4ρχιμήδης" 0g ποτέ τινῶν ἐρομένων 1) περὶ τῆς vx ὄψιν πυραμί- δος, ὁπόση ἂν εἴη τὸ μέγεθος, τὴν ῥάβδον ἑτοίμως ὔὕρϑιον πρὸς τὴν ἐξ ἡλίου τῆς πυραμέδος καταπήξας σκιάν, ὡς τὰς ἀμφοῖν τῆς τε ῥάβδου καὶ τῆς πυρα- μίδος ἐξ ἴσου συναποπερατοῦσϑαι σκιάς. καὶ δύο ἐν- τεῦϑεν ἀποτελέσας ἰσογώνια αὐτόϑεν ἐπήγαγεν' ὃν λόγον ἡ ἐν ἐπιπέδῳ κειμένη σκιὰ τῆς ῥάβδου πρὸς αὐτὴν

1) ἐρωμένων Xylander.

VIII PRAEFATIO.

ἔχει τὴν ῥάβδον, τὸν αὐτὸν καὶ ἡ ἐν ἐπιπέδῳ τῆς πυρα- μίδος σκιὰ πρὸς αὐτὴν ἔχει τὴν πυραμίδα. καὶ λοιπὸν τῇ διαμετρήσει τῆς σκιᾶς τῆς πυραμίδος τὸ τῆς πυραμί- δος ὕψος τοῖς ἐρωτήσασι δῆλον κατέστησεν. nam ueri simile est, hanc narratiunculam inde ortam esse, quod in catoptricis Árchimedis inueniebatur propositio ali- qua de altitudinibus ex umbra dimetiendis, qualis est Euclidis optic. prop. 18.

ultàmo loco adnotabo errores typographicos, quos quidem adhuc deprehenderim.

Seripbum esi: Seribendum erat:

I p. 24, 15: περιγάψαι περιγράψαι.

Ip. 46, T: ἰδούψη ἰσοὐψή.

I p. 106, 9: ἢ 0404

1 p. 240, 20: τμῆμα. ὡς τμῆμα, ὡς

I p. 380, 25: κορυφα χορυφὰ

I p. 424, ὅ: ουδὲ οὐδὲ

II p. 146, 20: ἔχοντι ἔχωντι; ei in notis

p. 147 addendum: ,20.. ἔχοντι F, uulgo." in figura I p. 360 littera I' excidit, quae ponenda erat in dextra parte extrema parabolae. 1 p. 244 in figura ducatur linea .4K. praeterea non raro in accentibus more Doriensium ponendis erraui, uelut quo€ in futuri terlia persona num. sing. circeumflexum non posui, et omnino in dia- lecto restituenda fortasse parum mihi constiti. sed huie rei aliquatenus mederi me posse spero, collectis omnibus dialecti Doricae uestigiis, quae apud Archi- medem occurrunt. hoc eb materiem disputandi ube- riorem et, αὖ arbitror, fructuosiorem, cerie mihi fami- lariorem, quam praebet quaestio de codicibus aesti- mandis, praefationi uoluminis tertii sepono.

Serib. Hauniae Cal. Februaris MDCCCLXXXI.

DE LINEIS SPIRALIBUS.

Archimedes ed. Heiberg. II. 1

10

15

20

"Aoxyunjóue Δοσυϑέῳ χαίρειν.

Τῶν ποτὶ Κόνωνα ἀποσταλέντων ϑεωρημάτων, ὑπὲρ ὧν αἰεὶ τὰς ἀποδειξίας ἐπιστέλλεις μοι γράψαι, τῶν μὲν πλείστων ἐν τοῖς ὑπὸ Ἡρακλείδα κομισϑέν- τεῦσιν ἔχεις γεγραμμένας, τινὰς δὲ αὐτῶν καὶ ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ γράψας ἐπιστέλλω τοι. μὴ θαυμάσῃς δέ, εἶ πλείονα χρόνον ποιησάντες ἐκδίδομες τὰς ἀποδειξίας αὐτῶν. συμβαίνει γὰρ τοῦτο γεγενήσϑαι διὰ τὸ βου- λέσϑαι μὲ πρότερον διδόμεν τοῖς περὶ τὰ μαϑήματα πραγματευομένοις καὶ μαστεύειν αὐτὰ προαιρουμέγοις. πόσα γὰρ τῶν ἐν γεωμετρίᾳ ϑεωρημάτων ovx εὐμέϑ- οδα ἐν ἀρχᾷ φανέντα χρόνῳ τὰν ἐξεργασίαν λαμβά- νοντι;: Κόνων μὲν οὖν οὐχ ἱκανὸν λαβὼν ἐς τὰν μά- στευσιν αὐτῶν χρόνον μετάλλαξεν τὸν βίον. ἢ δῆλα ἐποίησέν κα ταῦτα πάντα εὑρών. καὶ ἄλλα πολλὰ ἐξ- ευρὼν ἐπὶ τὸ πλεῖον προάγαγεν γεωμετρίαν. ἐπιστά- μεϑα γὰρ ὑπάρξασαν αὐτῷ σύνεσιν οὐ τὼν τυχοῦσαν περὶ τὸ μάϑημα καὶ φιλοπονίαν ὑπερβάλλουσαν. μετὰ δὲ τὰν Κόνωνος τελευτὰν πολλῶν évíov ἐπιγεγενη- μένων οὐδ᾽ ὑφ᾽ évóg οὐδὲν τῶν προβλημάτων αἰἶσϑα- νόμεϑα κεκινημένον. βουλόμαι δὲ x«9' ὃν ἕκαστον αὐτῶν προενεγκάσϑαι' καὶ γὰρ συμβαίνει δύο τινὰ

Ψ, “ωσιϑεῳ F, uulgo. 2. θϑεορηματων F. 8. ἀποδει- ξίας) scripsi , ui lin. 7; exoósib cum comp. ης F; ἀποδείξεις uulgo. 7. ἐκδιδομὲν F, uulgo. 1], πόσα] Barrowius; ποιὰ F,

Arehimedes Dositheo s. .

Eorum theorematum, quae ad Cononem miseram, quorum demonsirationes semper me perscribere iubes, plerasque demonstrationes in iis libris perscriptas habes, quos Heraclides ad te pertulit, nonnullas autem etiam hoc libro perscriptas ad te mitto. neu miratus sis, si diutius moratus demonsirationes eorum edidi. hoc enim ea de causa factum est, quod prius ea uolui per- mittere mathematices studiosis, et qui ipsi ea scru- tari malint. quot enim geometriae theoremata, quae inilio difficilia inuentu uidebantur, postea tandem con- fecta sunt? Conon igitur, antequam satis temporis ad ea perserutanda ei contigit, mortuus est; alioquin ea illstrasset, his omnibus inuentis, et multis aliis in- super de suo inuentis geometriam amplificasset. sci- mus enim, ei fuisse et peritiam mathematices singu- larem et industriam praecipuam. sed multis iam post mortem Cononis annis interiectis nondum ullum pro- blematum illorum quemquam adtigisse comperimus. singula autem hoc loco adferam. accidit enim, ut duo

uulgo. ϑεορηματων F. 19. τὰν] τὴ» per comp. Εἰ; corr. Torellius. 18. οὖν] addidi; om. F, uulgo. 14. ἢ δῆλα) Maduigius; αδηλα F, uulgo; καὶ ἄδηλα ed. Β4811., Torellius.

15. xa] scripsi; καὶ F, uulgo. 16. ἐπὶ] scripsi; καὶ exi F, uulgo. ταν γεωμετρίαν 17. συνεσ cum comp. ἡ» F.

19. Kovovog F, uulgo.

1*

10

15

20

4 ΠΕΡῚ ΕΛΙΚΩΝ,

αὐτῶν ἐν αὐτοῖς μὲν κεχωρισμένα, τέλος δὲ ποϑεσό- μενα, ὅπως oí φαμένοι μὲν πάντα εὑρίσκειν, ἀπό- δειξιν δὲ αὐτῶν οὐδεμίαν ἐκφερόντες ἐλεγκώνται οἷα ποϑωμολογηκότες εὑρίσκειν τὰ ἀδύνατα. ταῦτα δὴ ποῖα τῶν προβλημάτων ἐντί, καὶ τίνων τὰς ἀποδειξίας ἔχεις ἀπεσταλμένας, καὶ ποίων ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ κομίξομες, δοκιμάξομες ἐμφανίξαι τοι. πρῶτον δὴ τῶν προβλημάτων qv: σφαίρας δοθείσας ἐπίπεδον χωρίον εὑρεῖν ἴσον τᾷ ἐπιφανείᾳ τᾶς σφαίρας" ὃ δὴ καὶ πρῶτον ἐγένετο φανερὸν ἐχδοϑέντος τοῦ περὶ τὰν σφαίραν βιβλίου. δειχϑέντος γάρ, ὅτι πάσας σφαίρας & ἐπιφάνεια τετραπλασία ἐστὶ τοῦ μεγίστου κύκλου τῶν ἔν τᾷ σφαίρᾳ, δῆλον, ὡς δυνατόν ἐστι χωρίον ἐπίπεδον εὑρεῖν ἴσον τᾷ ἐπιφανείᾳ τᾶς σφαίρας. δεύ-

τερον δέ" κώνου δοϑέντος ἢ κυλίνδρου σφαῖραν εὕ-.

ρεῖν ἴσαν τῷ κώνῳ ἢ τῷ κυλίνδρῳ. τρίτον δέ" τὰν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν ὥστε τὰ τμάματα αὐτᾶς ποτ᾽ ἄλλαλα τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν. τέταρ- τον δέ' τὰν δοθεῖσαν σφαῖραν ἐπιπέδῳ τεμεῖν ὥστε τὰ τμάματα τᾶς ἐπιφανείας τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν zov ἄλλαλα. πέμπτον δέ τὸ δοϑὲν τμᾶμα σφαίρας τῷ δοϑέντι τμάματι σφαίρας ὁμοιώσαι. ἕκτον δέ" δύο δοϑέντων τμαμάτων σφαίρας εἴτε τᾶς αὐτᾶς εἴτε

1, αὐτῶν] scripsi; vov F, uulgo. ἐν αὐτοῖς] scripsi cum Nizzio; ev αὐτῷ F, uulgo; εὐλύτων retentis τῶν eb μή Maduigius. μέν] ux F; corr. ed. Basil.* κεχωρασμενα F; corr. B*; εἶμεν κεχωρισμένα 'lorellius cum Barrowio. τέλος] Nizzius; veAovg F, uulgo. ποϑεσόμενα) scripsi; ποτεσσομὲν F, uulgo; ποτϑή- coutv Barrow; ἀποτευξόμενα 'Torellius; ἀποεσσόμενα uel ovót- ποϑ' ἑξόμενα Nizzius; fort. τέλους δὲ ποτιδεόμενα:. 9. φανοι F. svowx cum comp. y» F, ut lin. 4, 9, 14. 8, οἷα ποϑω- μολογηπκότες] Scripsi; αποϑωμολογηκοτες F, uulgo; of ποϑ᾽ ouo- λογηκότες Barrow, "Torellius. 6. αποδειξ cum comp. ἧς Εἰ. 6. βιβλίῳ] alterum f) supra manu 1 F. 7. πκομιζοντες

DE LINEIS SPIRALIBUS. 5

quaedam eorum inter ea collocata sint, confici autem non possint, ut isti, qui se omnia inuenire dictitent, nullam autem demonstrationem eorum in medium proferant, aliquando redarguanitur, quippe qui absurda eliam se inuenire posse professi sint. ea autem pro- blemata qualia sint, δὲ quorum demonstrationes per- scriptas habeas, et qualium demonstrationes hoc libro adferamus, mihi uisum est tecum communicare. pri- mum igitur problema hoc erat: data sphaera planum spatium inuenire superficiei sphaerae aequale [de sph. et cyl. II p. 190], id quod etiam primum palam factum est, edito de sphaera libro. cum enim demonstratum sit, superficiem sphaerae quadruplo maiorem esse cir- enlo maximo sphaerae [de sph. et cyl. I, 33], ad- paret fieri posse, ut inueniatur spatium planum super- ficiei sphaerae aequale. secundum autem hoc erat: dato cono uel cylindro sphaeram inuenire cono uel cylindro aequalem [de sph. et cyl. IT, 1]. tertium autem: datam sphaeram plano secare, ita ut segmenta eius inter se datam rationem habeant [ib. II, 4]. quar- ium autem: datam sphaeram plano secare, ita ut seg- menta superficiei inter se datam rationem habeant [ib. JI, 3]. quintum autem: datum segmentum sphaerae dato segmento sphaerae simile reddere [efr. ib. IT, 5]. sextum autem: datis duobus sphaerae segmentis siue F; corr. Torellius. δοκιμάξζομες] scripsi; δοκιμαζοντες F, uulgo. ἐμφανίξω B; ἐμφανέσω Torellius; ἐμφανέσαι A, ed. Bags. 8. δοϑεισ cum comp. sc Εἰ; corr. Torellius. — 10. τὰν ' σφαέρα»] scripsi; τὴν (comp.) σφαιραν F, uulgo; τᾶς σφαίρας Torellus. 15. £vQ cum comp. 7» Εἰ, ut lin. 17, 19, p. 61. 1

17. τμηματα F; corr. Torellius; sic semper in omnibus huius

uerbi formis in hoc libro, nisi ubi contra adnotatum est. 18. αὐτῆς F; corr. Torellius. 21. πέπτον F.

5

6 ΠΕΡῚ EAIK9N.

ἄλλας εὑρεῖν τι τμᾶμα σφαίρας, ὃ ἐσσείται αὐτὸ μὲν ὁμοῖον τῷ ἑτέρῳ τῶν τμαμάτων, τὰν δὲ ἐπιφάνειαν ἴσαν ἕξει τᾷ ἐπιφανείᾳ τοῦ ἑτέρου τμάματος. ἕβδομον" ἀπὸ τᾶς δοθείσας σφαίρας τμᾶμα ἀποτεμεῖν ἐπιπέδῳ ὥστε τὸ τμᾶμα ποτὶ τὸν κῶνον τὸν βάσιν ἔχοντα τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν μείξονα τοῦ, ὃν ἔχει τὰ τρία ποτὶ τὰ δύο. τού- τῶν μὲν οὖν τῶν εἰρημένων πάντων τὰς ἀποδειξίας Ἡρακλείδας ἐκόμιξεν. τὸ δὲ μετὰ ταῦτα κεχωρισμένον

10 ψεῦδος ἦν. ἔστι δέ" εἴ κα σφαῖρα ἐπιπέδῳ τμαϑῇ εἰς

16

20

25

ἄνισα, τὸ μεῖξον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἔλασσον διπλασίονα λόγον ἕξει, ἢ ἃ μείξων ἐπιφάνεια ποτὶ τὰν ἐλάσσονα. ὅτι δὲ τοῦτο ψεῦδός ἐστι, διὰ τῶν προαπεσταλμένων φα- νερόν ἐστι. κεχωρίσται γὰρ ἐν αὐτοῖς τόδε᾽ εἴ κα σφαῖρα ἐπιπέδῳ τμαϑῇ εἰς ἄνισα ποτ᾽ ὀρϑὰς διαμέτρῳ τινὶ τῶν ἐν τῷ σφαίρᾳ τᾶς μὲν ἐπιφανείας τὸ μεῖξον τμᾶμα ποτὶ τὸ ἔλασσον τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον, ὃν τὸ τμᾶμα τὸ μεῖξον τᾶς διαμέτρου ποτὶ τὸ ἔλασσον, τὸ δὲ μεῖξον τμᾶμα τᾶς σφαίρας ποτὶ τὸ ἔλασσον ἐλάσσονα μὲν ἢ δι- πλάσιον λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἔχει ἃ μείξων ἐπιφάνεια ποτὶ τὰν ἐλάσσονα, μείξονα δὲ ἢ ἡμιόλιον. ἦν δὲ καὶ τὸ ἔσχατον κεχωρισμένον τῶν προβλημάτων ψεῦδος, ὅτι, εἴ κα σφαίρας τινὸς ἃ διάμετρος τμαϑῇ ὥστε τὸ ἀπὸ τοῦ μείξονος τμάματος τετράγωνον τριπλάσιον εἶμεν τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τμάμα-

7. "n μειξονα ἘΠῚ corr. Nizzius. 8. o9v] per comp. F; om. ed. Basil. αποδειξεις F, uulgo. 9. εκομισεν F, uulgo. 10. τμηϑὴη Ἐς corr. Torellius; et sic per totum hunc librum in - omnibus uius uerbi formis (eliam in compositis), ubi nihil ad-

notatum est. 16. ποτ] πρός per comp. Εἰ; corr. Torellius.

16. τᾶς μὲν ἐπιφανείας) addidi Neue Jahrb. Suppl. XI p. 397; om. F, uulgo. ποτὶ τὸ ἔλασσον — 19. τὸ δὲ usifov τμᾶμα

DE LINEIS SPIRALIBUS. Y

eiusdem siue alius segmentum sphaerae inuenire, quod ipsum alteri segmento aequale sit, superficiem autem alterius segmenti superficiei aequalem habeat [ib. II, 6]. septimum: a data sphaera segmentum plano abscindere, ita ui segmentum ad conum basim eandem habentem, quam segmentum, et altitudinem aequalem datam rationem habeat maiorem quam ὃ : 2 [ib. II, 1]. horum igitur omnium, quae nominauimus, proble- matum demonstrationes Heraclides ad te pertulit. sed quod deinde positum erat, falsum erai. est autem huiusmodi: si sphaera plano in partes inaequales seca- tur, maius segmentum ad minus duplicem rationem habet, quam maior superficies ad minorem. hoc autem falsum esse ex iis, quae antea ad te missa sunt, ad- paret. in iis enim hoc positum est: si sphaera in partes inaequales secatur plano ad diametrum aliquam sphaerae perpendiculari, superficiei segmentum maius ad minus eandem habebit rationem, quam maior pars diameiri ad minorem, sphaerae autem segmentum maius ad minus minorem quam duplicem rationem habet, quam maior superficies ad minorem, maiorem uero quam sesquialteram [ib. II, 8]. uerum etiam problema ultimo loco positum falsum erat: si alicuius sphaerae diametrus ita secatur, ut quadratum partis maioris triplo maius sib quadrato partis minoris, et per hoc punctum!) planum ad diametrum perpen-

1) Sc. in quo diametrus ita diuisa est.

delet Nizzius. 18. δέ] scripsi ibid.; yag F, uulgo. 19. ἔλασ- cov] om. FV. 21. ποτὶ τάν] προς (comp.) tqv» (comp.) F; corr. Torellius. 23. ἡ Εἰ corr. Torellius.

8 ΠΕΡῚ EAIKESNN.

τος, καὶ διὰ τοῦ σαμείου τούτου ἐπίπεδον ἀχϑὲν ποτ᾽ ὀρϑὰς τᾷ διαμέτρῳ τέμνῃ τὰν σφαῖραν, τὸ τοιοῦτον τῷ εἴδει σχῆμα, οἷόν ἐστι τὸ usitov τᾶς σφαίρας τμᾶμα, μέγιστόν ἐστι τῶν ἄλλων τμαμάτων τῶν ἐχόντων ἴσαν τὰν ἐπιφάνειαν. ὅτι δὲ τοῦτο ψεῦδός ἐστι, δῆλον διὰ τῶν προαπεσταλμένων ϑεωρημάτων. δεδείκται γάρ, ὅτι τὸ ἡμισφαίριον μέγιστόν ἐστι τῶν περιεχομένων ὑπὸ ἴσας ἐπιφανείας σφαίρας τμαμάτων. μετὰ δὲ ταῦτα περὶ τοῦ κώνου προβεβλημένα ἐστὶ τάδε᾽ εἴ κα ὀρϑο-

10 yovíov κώνου τομὰ μενούσας τᾶς διαμέτρου περιενεχ-

“»ὦ Qt

20

25

05, ὥστε εἶμεν ἄξονα τὰν διάμετρον, τὸ περιγραφὲν σχῆμα ὑπὸ τᾶς τοῦ ὀρϑογωνίου κώνου τομᾶς κωνο- εἰδὲὸς καλείσϑω. καὶ εἴ κα τοῦ κωνοειδέος σχήματος ἐπίπεδον ἐπιψαύῃ, παρὰ δὲ τὸ ἐπιψαῦον ἐπίπεδον ἄλλο ἐπίπεδὸν ἀχϑὲν ἀποτέμῃ τι τμᾶμα τοῦ κωνοειδέος, τοῦ ἀποτμαϑέντος τμάματος βάσις μὲν καλείσϑω τὸ ἀπο- τέμνον ἐπέπεδον, κορυφὰ δὲ τὸ σαμεῖον, xaO ὃ ἐπι- ψαύει τὸ ἕτερον ἐπίπεδον τοῦ κωνοειδέος. εἰ δέ κα τὸ εἰρημένον σχῆμα ἐπιπέδῳ τμαϑῇ zov ὀρθὰς τῷ ἄξονι, ὅτι μὲν ἃ τομὰ κύκλος ἐσσείται, δῆλον ὅτι δὲ τὸ ἀποτμαϑὲν τμᾶμα ἡμιόλιον ἐσσείται τοῦ κώνου τοῦ βάσιν ἔχοντος τὰν αὐτὰν τῷ τμάματι καὶ ὕψος ἴσον, δείξαι δεῖ. καὶ εἴ κα τοῦ κωνοειδέος δύο τμά- ματα ἀποτμαϑέωντι ἐπιπέδοις ὁπωσοῦν ἀγμένοις, ὅτι μὲν οὖν aí τομαὶ ἐσσούνται ὀξυγωνίων κώνων τομαί, δῆλον, εἴ κα τὰ ἀποτέμνοντα ἐπίπεδα μὴ ὀρϑὰ ἔωντι ποτὶ τὸν ἄξονα᾽ ὅτι δὲ τὰ τμάματα ποτ᾽ ἄλλαλα τοῦ-

1. σημειου F; corr. Torellius; et sic per totum librum, ubi nihil adnotatum est. τούτου] Scripsi; τὸ F, uulgo; τοῦ 2. τῶν] την F; corr. Torellius. 8. εἰδη FF. 12. της (comp.) . τομῆς T; corr. Torellius. 16. ἐποτμαϑέντος] sic F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 9

dieulare ducatur et sphaeram secet, figura talis specie, quale est maius segmentum sphaerae, maxima est omnium segmentorum aequalem superficem haben- tium. hoc autem falsum esse, ex iis theorematis, quae antea ad te missa sunt, adparet. ibi enim demon- stratum est, hemisphaerium maximum esse segmento- rum aequali superficie sphaerae comprehensorum [ib. II, 9]. deinde de cono!) haec erant proposita: si seclio coni rectanguli manente diametro. cireumuolui- tur, iia ut diametrus sit axis, figura sectione coni rect- anguli comprehensa conoides uocetur (cfr. de conoid. p. 244). et si planum conoides contingit, et aliud planum contingenti paralledlum segmentum aliquod conoidis abscindit, segmenti abscisi basis uocetur planum abscindens, ueriex aulem punctum, in quo alilerum planum conoides contingit. sin autem figura, quam commemorauimus, plano ad axem perpendicu- lari secatur, sectionem circulum fore, adparet; sed seg- mentum abscisum dimidia parte maius futurum esse cono basim eandem habenti, quam segmentum, et altitudinem aequalem, demonstrandum est [de conoid. 21] οὐ 81 ἃ conoide duo segmenta planis quouis modo ductis abscinduntur, sectiones conorum acuti- angulorum sectiones futuras esse, si plana abscin- dentia ad axem perpendicularia non sint, adparet [de conoid. 12]; segmenta autem eam inter se rationem

1) Uidendum est, ne scribendum asit τοῦ κωνοειδέος lin. 9.

17. κορυφὴ F, uulgo. 18. y δη F; corr. ed. Basil.* κα] scripsi; καὶ F, uulgo. 25. ὀξυγωνίου κώνου Nizzius cum C, Cr. 26. ἀποτεμν (cum comp. ov) τα FC.

10

15

2

e

25

10 ΠΕΡῚ EAIK9N.

τον ἑξοῦντι τὸν λόγον, ὃν ἔχοντι δυνάμει ποτ᾽ ἀλλά- λας αἱ ἀπὸ τᾶν κορυφᾶν αὐτῶν ἀγμέναι παρὰ τὸν ἄξονα μέχρι ἐπὶ τὰ ἐπέπεδα τὰ τέμνοντα, δείξαι δεῖ. τοὐτῶν δ᾽ αἱ ἀποδειξίες οὔπω τοι ἀποστελλόνται. μετὰ δὲ ταῦτα περὶ vüg ἕλικος ἦν προβεβλημένα ταῦτα" ἐντὶ δὲ ὥσπερ ἄλλο τι γένος προβλημάτων οὐδὲν ἐπι- κοινωνεόντων τοῖς προειρημένοις ὑπὲρ ὧν ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ τὰς ἀποδειξίας γεγραφήκαμές τοι. ἔστιν δὲ τάδε" εἴ κα δὐθεῖα γραμμὰ ἐν ἐπιπέδῳ μένοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος ἐσοταχέως περιενεχϑεῖσα Gxoxavaota πάλιν, ὅϑεν ὥρμασεν, ἅμα δὲ τᾷ γραμμᾷ περιφερομένα φερήται τι σαμεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ κατὰ τᾶς εὐ- ϑείας ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος, τὸ σαμεῖον ἕλικα γράψει ἐν τῷ ἐπιπέδῳ. φαμὶ δὴ τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἀποκατα- σταϑείσας, ὅϑεν ὥρμασεν, τρίτον μέρος εἶμεν τοῦ κύκλου τοῦ γραφέντος κέντρῳ μὲν τῷ μένοντι σαμείῳ, διαστήματι δὲ τῷ εὐθείᾳ τᾷ διανυαϑείσᾳ ὑπὸ τοῦ σα- μείου ἐν τᾷ. μιᾷ περιφορᾷ τᾶς εὐθείας. καὶ si κα τᾶς ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα κατὰ τὸ πέρας τὰς ἕλικος τὸ ἔσχατον γενόμενον, ἄλλα δέ τις εὐθεῖα τᾷ περι- αχϑείσᾳ καὶ ἀποκατασταϑείαᾳ γραμμᾷ ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀχϑῇ ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος αὐτᾶς, ὥστε ἐμπεσεῖν τᾷ ἐπιψαυούσᾳ, φαμὶ τὰν ποταχϑεῖσαν εὐθεῖαν (aav εἶμεν τᾷ τοῦ κύκλου περιφερείᾳ. καὶ εἴ κα ἃ περιαγομένα γραμμὰ καὶ τὸ δαμεῖον τὸ φερόμενον κατ᾽ αὐτᾶς πλει-

1. ἔχοντι] scripsi; ἐχωντι F, uulgo. 9. ἐπὶ τὰ scripsi; τα Ἐς, uulgo. τὰ τέμνοντα] scripsi; τὰά om. F, uulgo. 4. απο- δειξ cum comp. ης F; ἀποδείξεις uulgo. οὔπω] Torellius et Nizzius; ovro F, uulgo. b. δλικας Εἰ: corr. BD. 6. επι-

xowoveóvtoy] scripsi; εἐπικοινωρεοντα F, uulgo; ἐπέκοινον ἔχοντα Barrowius; ἐπίκοινον ἐχόντων Torelius; ,communi-

i

DE LINEIS SPIRALIBUS. 11

habitura esse, quam habeant quadrata linearum, quae 8 uerticibus eorum usque ad plana absceindentia axi parallelae ducantur, demonstrandum est [ib. 24]. ho- rum autem demonstrationes nondum ad te müttuntur, post haec autem de linea spirali haec proposita erant; sunt autem quasi aliud problematum genus, quae cum iis, quae adhuc commemorauimus, nihil commune habent; de quibus hoc libro demonstrationes tibi perscripsimus. sunt autem haec: si linea recta, ma- nente altero termino, in plano aequabiliter cireumacta rursus in eum ]locum restituitur, unde coepia est moueri, et simul dum linea cireumagitur, punctum aliquod aequabiliter sibi ipsi in linea promouetur a iermino manente incipiens, punctum in plano spiralem describet. dico igitur, spatium comprehensum spirali et linea in eum locum restituta, unde moueri coepta est, ierliam partem esse circuli, cuius centrum sit lerminus manens, radius autem linea ἃ puncto in unà lineae circeumuolutione permeata [prop. 24] οὐ si linea in extremo termino spiralis spiraslem contingit, alia autem linea ἃ termino manente ad lineam cireum- actam et in suum loeum restitutam perpendicularis ducitur, ita αὖ in lineam contingentem incidat, dico, lineam ita [ad contingentem] ductam circuli ambitui aequalem esse [prop. 18] οὐ si linea, quae cireum- agitur, οὐ punctum, quod in ea mouetur, pluribus

cans Cr. 8. γεγραφηκαμεν F, uulgo. τοι] Torellius; co: F, uulgo. 9. περι sÀuxov F mg. 16. ὠρμὴσεν F. — 28. πέρατος αὐτὰς] περι ro cvvo F; corr. Torellius. — 24. φημι ἘΠ; corr. To-

0 rellius. σπραχϑεισαν F; corr. Torellius; fort. προαχϑεῖσαν.

10

15

20

25

12 ΠΕΡῚ EAIKO9N.

όνας περιφορὰς περιενεχϑέωντι καὶ ἀποκατασταϑέωντι πάλιν, ὅϑεν ὥρμασεν, φαμὶ τοῦ χωρίου τοῦ ἐν τῷ δευτέρᾳ περιφορᾷ ποτιλαφϑέντος ὑπὸ τὰς ἕλικος τὸ μὲν ἐν τᾷ τρίτῳ ποτιλαφϑὲν διπλάσιον ἐσσείσϑαι, τὸ ὃὲ ἐν và τετάρτα τριπλάσιον, τὸ δὲ ἐν τᾷ πέμπτᾳ τετραπλάσιον, καὶ ἀεὶ τὰ ἐν ταῖς ὕστερον περιφοραῖς ποτιλαμβανόμενα χωρία κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀρυϑμοὺς πολ- λαπλάσια ἐσσείσϑαι τοῦ ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ ποτι- λαφϑέντος" τὸ δὲ ἐν τᾷ πρώτα περιφορᾷ ποτιλαφϑὲν χωρίον ἕκτον μέρος εἶμεν τοῦ ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ ποτιλαφϑέντος χωρίου. καὶ εἴ κα ἐπὶ vág ἕλικος τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμμένας δύο σαμεῖα λαφϑέωντι, καὶ ἀπ᾽ αὐτῶν ἐπιξευχϑέωντι εὐϑείαι ἐπὶ τὸ μεμενακὸς πέρας τᾶς περιενεχϑείδας γραμμᾶς, καὶ κύκλοι δύο γραφέωντι κέντρῳ μὲν τῷ μεμενακότι σαμείῳ, διαστη- ᾿ μάτεσσι δὲ ταῖς ἐπιξζευχϑείσαις ἐπὶ τὸ μεμενακὸς πέρας

τᾶς εὐϑείας, καὶ ἃ ἐλάσσων τῶν ἐπιξευχϑειαᾶν ἐπεκβλη-

$3, φαμὶ τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς τοῦ μείξονος κύκλου περιφερείας τᾶς ἐπὶ τὰ αὐτὰ τῷ Aut μεταξὺ τᾶν εὐϑειᾶν ἐούσας καὶ τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς éx- βληϑείσας ποτὶ τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς τοῦ ἐλάσσονος κύκλου περιφερείας καὶ τᾶς αὐτᾶς ἕλικος καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐπιξευγνούσας τὰ πέρατα αὐτῶν τοῦτον ἕξειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει & ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσ- Govog κύκλου μετὰ δύο τριταμορίων τᾶς ὑπεροχᾶς, ἃ ὑπερέχει & ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείξονος κύκλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος xvxAov ποτὶ τὰν ἐκ

2. zal cum comp. *» F. 10. τοῦ] τα F; corr. B. 11. ελικας F; corr. B. 16. γραφέωντι] scripsi; γεγραφεῶντι F, uulgo. 19. τᾷ] addidi; om. F, uulgo. 21. περιληφϑὲν F 23. αὐτᾶν] cvrav supra scripto compendio c» uel cireum-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 13

circeumuolutionibus cireumaguntur et rursus in eum locum restituuntur, unde moueri coepta est [linea recta], dico, spatio in secunda circeumuolutione a spirali adiecto duplo maius fore spatium in tertia adiectum, iriplo autem maius spatium in quarta adiectum, qua- druplo autem spatium in quinta adiectum, et omnino spatia in sequentibus circumuolutionibus adiecta multi- plicia fore, quam spatium in secunda circumuolutioue adiectum, secundum numerorum insequentium seriem; spatium uero in prima cireumuolutione comprehensum!) sextam partem esse spatii in secunda adiecti [prop. 21]. οὐ si in spirali in una circumuolutione descripta duo puncta sumuntur, eli ab iis ad manentem terminum lineae cireumactae ducuntur lineae, οὲ duo circuli describuntur, quorum centrum est punctum manens, radi autem lineae ad manentem terminum lineae ductae, et minor linearum ductarum producitur, dico, spatium comprehensum eo ambitu circuli maioris, qui in eadem parte est, in qua est spiralis, inter lineas positus, et spirali et linea producta ad spatium com- prehensum ambitu cireuli minoris et eadem spirali οὐ linea terminos earum iungenti eam habiturum esse rationem, quam habeat radius circuli minoris cum duabus parlibus excessus, quo radius circuli maioris radium minoris circuli excedat, ad radium circuli minoris cum terlia parte eiusdem excessus [prop. 28]. horum

1) Puto scribendum esse: περιλαφϑέν lin. 9.

flexu F. 24. efe, F, uulgo. 25. &] ας F; corr. Torellius. 96. μείξονος κύκλον — p. 14, 1: κέντρου τοῦ om. Εἰ: corr. Torellius, nisi quod om. alterum τοῦ lin. 27.

10

15

20

25

14 IIEPI EAIKSN.

τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου μετὰ ἑνὸς τριτα- μορίου τᾶς εἰρημένας ὑπεροχᾶς. τούτων δή μοι καὶ ἄλλων περὶ τᾶς ἕλικος αἴ ἀποδειξίες ἐν τῷδε τῷ βιβλίῳ γραφόνται. προκείνται δέ, ὡς καὶ τῶν ἄλλων τῶν γεωμετρουμένων, τὰ χρείαν ἔχοντα εἰς τὰν ἀπόδειξιν αὐτῶν. λαμβάνω δὲ καὶ ἐν τούτοις, ὡς ἐν τοῖς πρό- τερον ἐκδεδομένοις βιβλίοις, λῆμμα τόδε" τῶν ἀνίσαν γραμμᾶν καὶ τῶν ἀνίσων χωρίων τὰν ὑπεροχάν, ἃ ὑπερέχει τὸ μεῖξον τοῦ ἐλάσσονος, αὐτὰν ἑαυτᾷ συν- τιϑεμέναν δυνατὸν εἶμεν παντὸς ὑπερίδχειν τοῦ προ- τεϑέντος τῶν ποτ᾽ ἄλλαλα λεγομένων.

,

e.

Εἴ κα κατά τινος γραμμᾶς ἐνεχϑῇ τι σαμεῖον ἐσο- ταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμενον, καὶ λαφϑέωντι ἐν αὐτᾷ δύο γραμμαί , αἵ ἀπολαφϑείσαι τὸν αὐτὸν ἐξοῦντι λό- γον ποτ᾽ ἀλλάλας, ὔνπερ οἵ χρόνοι, ἐν οἷς τὸ σαμεῖον τὰς γραμμὰς ἐπορεύϑη.

ἐνηνέχϑω γάρ τι σαμεῖον κατὰ τᾶς 4B γραμμᾶς ἰσοταχέως, καὶ λελάφϑωσαν iv αὐτᾷ δύο γραμμαὶ αἵ ΓΖ, 4E. ἔστω δὲ ὃ χρόνος, ἐν à τὰν ΓΖ γραμμὰν τὸ δαμεῖον διεπορεύϑη, ὁ ΖΗ, ἐν ᾧ δὲ τὰν AE ὃ ΗΘ. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον ἁ ΓΖΩ͂ γραμμὰ ποτὶ τὰν 4 E γραμμάν, ὃν ὁ χρόνος ὁ ZH ποτὶ τὸν ΗΘ.

συγκείσϑωσαν γὰρ ἐκ τᾶν I'4, AE γραμμᾶν αἵ A44, AB γραμμαὶ καϑ'᾿ ἁντινοῦν σύνϑεσιν οὕτως, ὥστε ὑπερέχειν τὰν 44 τᾶς 4B. καὶ ὁσάκις μὲν συγκχείται ἃ ΓΖΩ͂ γραμμὰ ἐν τᾷ 421, τοσαυτάκις συγ-

1. μετ᾽ ed. Basil, Torellius. 3. ἀποδειξ cum comp. ἧς F; ἀποδείξεις uulgo. 4. πρόκειται Nizzius. 6. og] scripsi; τῶν per comp. F, uulgo. 7. λῆμμα τόδε] scripsi; λημα ταῦε

DE LINEIS SPIRALIBUS. 15

igitur [lheorematum] et aliorum quorundam de spirali demonstrationes hoc libro a me perscribuntur. prae- mittuntur autem, ut etiam in ceteris scriptis geome- iricis, quae ,ad ea demonstranda utilia sunt. οὐ hic quoque, sicut in libris antea editis!), hoc lemma sumo: excessum linearum uel spatiorum inaequalium, quo maius excedat minus, sibi ipsi adiectum excedere posse quamuis magnitudinem datam earum, quae inter se comparari possunt.

I.

S1 in linea aliqua punctum aliquod sibi ipsi aequa- biliter fertur, et in ea duae lineae sumuntur, lineae sumptae eandem rationem habebunt, quam tempora, quibus punctum lineas permeauit.

feratur enim aequabiliter punctum aliquod in linea A B, et in ea duae lineae ΓΖ, 4/4 E sumantur. tempus aulem, quo punctum lineam ΓΖ, permeauit, sit ZH, et quo lineam Z/E, sii HO. demonstrandum est, esse ΓΖ: AE — ZH: ΗΘ.

componantur enim ex lineis ΓΖ, 4E lineae 4 4, 4 B, quotiescunque sumuntur lineae illae, ita ut linea 44 lineam 4.8 excedat.) οὐ quoties linea ΓΖ in linea 4421 continetur, toties contineatur tempus ZH

1) H. e. περὶ σφαέρας καὶ κυλίνδρου (I λαμβ. 6 p. 10) et τετραγ. παραβ. praef. (Quaest. Arch. p.: 465). 2) Hoc fieri potest per lemma illud lin. 7 — 11.

F, supra scripto μ et τὰ manu prima (et sic uulgo); λημμάτων τόδε Nizze. 18. ηνεχϑὼ F, uulgo. 22. ἔχοντι] scripsi; egovt F, uulgo. I4] 44 Ἐς corr. Torellius; «y ed. Basil; ,cd* Cr. 94 vo» — γραμμων (comp.) Εἰ; corr. Torellius.

16 ΠΕΡῚ EAIKOSN.

κείσϑω ὁ χρόνος ὁ ZH ἐν τῷ χρόνῳ τῷ ΛΗ͂' ὁσάκις δὲ συγχείται & 4 E γραμμὰ ἐν τᾷ 4B, τοσαυτάκις

Ι | | [I —— ————17—4—34 A D 4

---- --- —Ó— —Ó —FL34—4 A - Z Η 9 K

συγκείσϑω ὁ ΘΗ χρόνος ἐν và KH χρόνῳ. ἐπεὶ οὖν ὑποκείται τὸ σαμεῖον ἰσοταχέως ἐνηνέχϑαι κατὰ τᾶς

5 48 γραμμᾶς, δῆλον, ὡς, ἐν ὅσω χρόνῳ τὰν ΓΖ ἐν-

10

ηνέκται, ἐν τοσούτῳ καὶ ἑἕκάσταν ἐνηνέκται τἂν ἴσαν τᾷ ΓΖ. φανερὸν οὖν, ὅτι καὶ συγκειμέναν τὰν 44 γραμμὰν ἐν τοσούτῳ χρόνῳ ἐνηνέκχται, ὅσος ἐστὶν ὁ AH χρόνος, ἐπειδὴ τοσαυτάκις συγκείται & τε ΓΖ γραμμὰ ἐν τᾷ 44] γραμμᾷ, καὶ ὁ ZH χρόνος ἐν τῷ 4H χρόνῳ. διὰ ταὐτὰ δὴ καὶ τὰν B4 γραμμὰν ἐν τοσούτῳ χρόνῳ τὸ σαμεῖον ἐνηνέκται, ὅσος ἐστὶν ὁ ΚΗ χρόνος. ἐπεὶ οὖν μείξων ἐστὶν & 44 γραμμὰ τᾶς B4, δῆλον, ὅτι ἐν πλείονι χρόνῳ τὸ ἀαμεῖον τὰν

16 4.4 διαπορευέται γραμμάν, ἢ τὰν B. ὥστε ὁ χρό-

20

νος ὁ ΛΗ μείξων ἐστὶ τοῦ ΚΗ χρόνου. ὁμοίως δὲ δειχϑησέται, καὶ εἴ κα ἐκ τῶν χρόνων τῶν ZH, ΗΘ συντεϑέωντι χρόνοι x«9' ἁντινοῦν σύνϑεσιν, ὥστε ὑπερέχειν τὸν ἕτερον τοῦ ἑτέρου, ὅτι καὶ vüv ἐκ τᾶν γραμμᾶν τᾶν ΓΩ͂, 4Ε κατὰ τὰν αὐτὰν σύνϑεσιν συν- τεϑεισᾶν ὑπερέξει ἃ ὁμόλογος τῷ ὑπερέχοντι χρόνῳ. δῆλον οὖν, ὅτι τὸν αὐτὸν ξξει λόγον & DL'4 ποτὶ τὰν A4E, ὃν ὃ χρόνος ὁ ZH ποτὶ τὸν χρόνον τὸν HO.

1. ocax cum comp. «sg F, ut lin. 3, 9. 6. τωσουτω F. εκαστ cum comp. ην Εἰ; corr. Torellius. 11, τὰ αὐτά Torel- lius. 17. αἴκα Torellius, ut fere semper.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 11

in tempore 4H. quoties autem linea Z/E in linea 48 continetur, toties contineatur tempus 6 H in tempore KH. iam quonianr suppositum est, punctum in linea AB aequabiliter ferri, adparet, quo tempore lineam ΓΖ permeat, eo etiam singulas lineae I'7/ aequales permeare. manifestum igilur est, punctum illud etiam lineam compositam 4,2] eo tempore permeare, quan- tum est tempus 44H, quoniam, quoties linea ΓΖ in linea 4421 continetur, toties continetur tempus ZH in tempore 4H. eadem igitur de causa etiam lineam B 4 eo tempore permeat punctum, quantum est tempus KH. iam quoniam 44217 ΒΖ, adparet, punctum longiore lempore lineam 7144 permeare quam lineam B4. quare erit ΔΗ͂» ΚΗ. ei eodem modo demonstrabimus, etiam 81 ex temporibus ZH, ΗΘ tempora componantur, quotiescumque in iis illa tempora contineantur, ita ut alilerum excedat alterum, etiam linearum ex lineis ΓΖ, 4E iolies sumptis, quoties tempora ZH, ΗΘ, compositarum eam excedere alteram, quae tempori excedenti respondeat. adparet igitur, esse I: 4E — ZH: ΗΘ [Eucl. V def. 5].

Archimedes ed. Heiberg. II. 2

5

10

15

20

25

18 IITEPI ΕΛΙΚΩΝ.

B.

Εἴ κα δύο σαμείων ἑκατέρου κατά τινος γραμμᾶς ἐνεχϑέντος μὴ τᾶς αὐτᾶς ἰσοταχέως αὐτοῦ ἑαυτῷ φερο- μένου λαφϑέωντι ἐν ἑκατέρᾳ τῶν γραμμᾶν δύο γραμ- uoi, &v ct vs πρώται ἐν ἴσοις χρόνοις ὑπὸ τῶν σα- μείων διανυέσϑων καὶ αἱ δευτέραι, τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον ποτ᾽ ἀλλάλας αἵ λαφϑείσαι γραμμαί.

ἔστω κατὰ τὰς 48 γροαμμᾶς ἐνηνεγμένον τι σα- μεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ, καὶ ἄλλο κατὰ τᾶς K Α. λελάφϑωσαν δὲ ἐν τᾷ AB δύο αἱ ΓΖ, AE γραμμαί, καὶ ἐν τᾷ ΚΑ αἵ ZH, ΗΘ, ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ τὸ κατὰ τὰς 48 γραμμᾶς ἐνηνεγμένον σαμεῖον τὰν ΓΖΩ͂ γραμ- μὰν διαπορευέσϑω, ἐν ὅσῳ τὸ ἕτερον κατὰ τᾶς ΚΑ ἐνηνεγμένον τὰν ZH: ὁμοίως καὶ τὰν 4 E γραμμὰν ἐν ἴσῳ διαπορευέσϑω τὸ σαμεῖον, ἐν ὅσῳ τὸ ἕτερον τὰν HO. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον & ΓΖ, ποτὶ τὰν 4Ε, ὃν & ZH ποτὶ τὰν ΗΘ.

ἔστω δὴ ὁ χρόνος, ἐν ᾧ τὰν ΓΖ γραμμὰν διεπο- φεύετο τὸ σαμεῖον, ὁ ΜΝ. ἐν τούτῳ δὴ τῷ χρόνῳ καὶ τὸ ἕτερον σαμεῖον διαπορευέται τὰν ΖΗ. πάλιν δὲ καί, ἐν ᾧ τὰν AE γραμμὰν διεπορεύετο τὸ σα- μεῖον, ἔστω ὁ NA χρόνος. ἐν τούτῳ δὴ καὶ τὸ ἔτε- ρον σαμεῖον διαπορευέται τὰν ΗΘ. τὸν αὐτὸν δὴ λόγον ἑξοῦντι & τε ΓΖΩ͂ ποτὶ τὰν 4 E γραμμάν, ὃν ὁ χρόνος ὃ ΜΝ ποτὶ NAÀ, καὶ & ZH ποτὶ τὰν ΗΘ, ὃν ὃ χρόνος ó MN ποτὶ τὸν NA. δῆλον οὖν, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον & DI'4 ποτὶ τὰν 4Ε, ὃν ἃ ZH ποτὶ τὴν HO. —

9. αὐτοῦ] scripsi; «vro F, uulgo. 4. λαφϑενωντι F. δ. ἃν] addidi; om. F, uulgo. — copusíov] sic F. — 9. sevo F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 19

II.

Si duo puncta in sua quodque linea sibi ipsa aequabiliter feruntur, ei in utraque linea duae lineae sumuntur, quarum linearum et priores et posteriores aequalibus temporibus a punotis permeentur, lineae sumptae eandem inier se rationem habebunt.

feratur in linea 4B punctum aliquod sibi ipsum aequabiliter, et in linea K.4 aliud punctum eodem modo. sumantur autem in linea 4B duae lineae ΓΖ, A E, et in linea K 4 lineae ZH, ΗΘ, et punctum, -quod in linea 4B fertur, eodem tempore lineam ΓΖ permeet, quo alterum punctum, quod in linea ΚΑ fertur, lineam ZH permeat. et eodem modo etiam lineam zZ/E eodem iempore permeet punctum, quo alterum lineam ΗΘ permeat. demonstrandum est, esse ΓΖΔ: AE — ZH: HO.

tempus igitur, quo punctum lineam Γ᾽ Ζ[ permeauit, sibi MN. itaque hoe tempore alterum punctum lineam ZH permeat. rursus autem tempus, quo punctum lineam 4 Ε permeauit, sit N,&. hoc igitur tempore etiam allerum punctum lineam ΗΘ permeat. erit

A I 4. E B A Z H Θ K ——À -------- E—— M N m

igitur ΓΖ: 4E— MN: NEet ZH: HO— MN: NA [prop. 1]. adparet igitur, esse ΓΖ: 4E — ZH: ΗΘ.

10. τᾷ] to F; corr. B. 14. ἐνηνεγμένον" seripsi; q»eyus- vov» F, uulgo. 15. σαμεῖον] sic F, ut lin. 1. δέ] To- rellius; δὴ Ε΄, uulgo. 25. mor] (prius) Qo; per comp. E; corr. Torellius, 96. ΝᾺ B| ΜΗ͂ ΘΒ. 292". ἐχωντι F

9*

10

15

20

20 ΠΕΡῚ EAIKSN.

,

γ΄.

Κύκλων δοϑέντων ὁποσωνοῦν τῷ πλήϑει δυνατόν ἐστιν εὐθεῖαν λαβεῖν μείξονα ἐοῦσαν τᾶν τῶν κύκλων περιφερειᾶν.

περιγραφέντος γὰρ περὶ ἕκαστον τῶν κύκλων πολυ- γώνου δῆλον, ὡς ἡ ἐκ πασᾶν συγκειμένα τᾶν περι- μέτρων εὐϑεῖα μείξων ἐσσείται πασᾶν τἂν τῶν κύκλων περιφερειᾶν.

δ΄.

Ζύο γραμμᾶν δοϑεισᾶν ἀνισᾶν, εὐθείας τε καὶ κύκλου περιφερείας, δυνατόν ἐστι λαβεῖν εὐθεῖαν τᾶς μὲν μείξονος τᾶν δοϑεισὰᾶν γραμμᾶν ἐλάσσονα, τᾶς δὲ ἐλάσσονος μείξονα.

ὁσάκις γὰρ ἁ ὑπεροχά, ᾧ ὑπερέχει ἃ μείξων γραμμὰ τᾶς ἐλάσσονος, αὐτὰ ἑαυτᾷ συντιϑεμένα ὑπερέξει τᾶς εὐϑείας, εἰς τόσαῦτα ἴσα διαιρεϑείσας τᾶς εὐϑείας τὸ ὃν τμᾶμα ἔλασσον ἐσσείται τᾶς ὑπεροχᾶς. εἰ μὲν οὖν κα ἦ ἃ περιφέρεια μείξων τῶς εὐϑείας, ἕνὸς τμάματος ποτιτεϑέντος ποτὶ τὰν εὐϑεῖαν τᾶς μὲν ἐλάσσονος τᾶν δοϑεισᾶν δῆλον ὡς μείξων ἐσσείται, τᾶς δὲ μείξονος ἐλάσσων. εἰ δέ κα ἐλάσσων, ἕνὸς τμάματος ποτιτε- ϑέντος ποτὶ τὰν περιφέρειαν ὁμοίως τᾶς μὲν ἐλάσ- σονος μείξων ἐσσείται, τᾶς δὲ μείξονος ἐλάσσων. καὶ γὰρ ἃ ποτικειμένα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ὑπεροχᾶς.

2. ὅποσ cum compp. ων et οὖν F. 8. ουσαν F, uulgo. 6. πασων F, uulgo. συγκειμενὴ vov F, uulgo. 7. ἐσσεέται scripsi; ἔσται per comp. F; uulgo. 11. λαβ cum comp. ἣν F. 15. αὐτὰ ἑξαυτᾷ] scripsi; αὐτὰ F, uulgo. 106. eig] scripsi; και, εἰς F, uulgo. 17. ἐσσείται) scripsi cum B; ἔσται per comp. F, uulgo. 18. κα 7] scripsi; καὶ F, uulgo. 20. μεέ-

fov| scripsi; μεῖζον F, uulgo. — usifov cum comp. eg F. 21. εἰ δέ κα usque ad μεέξονος ἐλάσσων lin. 98 addidi; om, F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 21

III.

Datis circulis quotlibet numero fieri potest, ut suxaatur linea maior, quam ambitus cireulorum. eir- ecumseripbo enim circum singulos circulos polygono adparet, lineam ex omnibus eorum perimetris com- . positam maiorem futuram esse, quam omnes ambitus eireulorum [de sph. et. eyl. I, 1]. |

IV.

Datis duabus lineis inaequabilibus, recta linea et cireuli ambitu, fieri potest, ut sumatur linea recta minor maiore linearum datarum, minore autem maior.

nam quoties excessus, quo maior linea minorem excedit, sibi ipse adiectus lineam rectam excedet?) in tot partes aequales diuisa linea recia una pars minor erii excessu. iam si ambitus maior est linea recta, adparet, si ungm partem ad lineam rectam adiiciamus, summam maiorem fore minore linearum datarum, minorem uero maiore. sin minor est [ambitus quam linea recta], si unam partem ad ambitum adiicimus, summa rursus minore linea maior erit, maiore autem minor. nam quae adiicitur, minor est excessu.?)

1) Hoc fieri potest per lemma p. 14. 2) Bit p ambitus, i linea recta; erit igitur, si p — 1,

n(p—D 51x p—V» L1, »»ΊΈΕΞι, quare »;»}Ὲ ΣΤ» sin 17» p, erit: nü—52»1»x1l—p»lbp- 1 quare |I 2 p E02

29 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

Κύκχλου δοθέντος καὶ εὐϑείας ἐπιψανούσας τοῦ κύκλου δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἀγαγεῖν εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν με-

b ταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ vig. τοῦ κύκλου περιφερείας — εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν, ἢ & περιφέρεια τοῦ κύκλου ἃ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς διαχϑείσας ποτὶ τὰν δοϑεῖσαν ὁποιανοῦν κύ- κλου περιφέρειαν.

10 δεδόσθω κύκλος ὁ Α ΒΓ, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ K, καὶ ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου & 4Ζ κατὰ τὸ B. δεδόσθω δὲ καὶ κύκλου περιφέρεια ὁποιαοῦν. δυνατὸν δή ἐστι τᾶς δοϑείσας περιφερείας λαβεῖν τινα εὐθεῖαν μείξονα, καὶ ἔστω & E εὐϑεῖα μείξων τᾶς δοϑείσας περι-

15 φερείας. ἄχϑω δὲ ἀπὸ τοῦ Καὶ κέντρου παρὰ τὰν 4Z & AH, καὶ κείσϑω ἃ HG ἴσα và E νεύουσα ἐπὶ τὸ B, ἀπὸ δὲ τοῦ K κέντρου ἐπὶ τὸ O ἐπιξευχϑεῖσα ἐκ- βεβλήσϑω. τὸν αὐτὸν δὴ λόγον ἔχει & ΘΖ ποτὶ τὰν ΘΚ, ὃν & ΒΘ ποτὶ τὰν ΘΗ. ἁ ἄρα ΖΘ ποτὶ τὰν

20 ΘΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει τοῦ, ὃν ἃ BO περιφέρεια ποτὶ τὰν δοϑεῖσαν περιφέρειαν, διότι ἃ μὲν ΒΘ εὐθεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΒΘ περιφερείας, & δὲ ΘΗ μείξων τᾶς δοϑείσας περιφερείας. ἐλάσσονα οὖν λό- γον ἔχει καὶ ἃ ZO ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου, ἢ & ΒΘ

25 περιφέρεια ποτὶ τὰν δοϑεῖσαν περιφέρειαν.

2. ἐπιψανουσῆης F; corr. Torellius. 12. δή] scripsi; δὲ F, uulgo. 15. ἀπό] διά 17. δέ] scripsi; ἢ F, uulgo. 19. ἃ] (alt) scripsi; ἡ F, uulgo. 20. ὃν ἔχει & suspicatur Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS, 3

Υ.

Dato cireulo et linea ecireulum contingenti fieri potest, ub a centro circuli ad contingentem linea du- eatur, ita ut linea inter contingentem et ambitum cir- culi posita ad radium eam rationem habeat, quam ambitus circuli inter punctüm contactus et lineam pro- ductam positus ad quemlibet datum ambitum circuli.

datus sit circulus 4BI et centrum eius sit K, et 4Z circulum in B contingat. datus sit etiam qui- libet ambitus circuli fieri igitur potest, ut sumatur linea aliqua, dato ambitu maior [prop. 3], et sit E dato ambitu maior. ducatur autem a centro K lineae 4Z parallela linea 4H, et ponatur H6 linéa lineae E aequalis ad punctum B uergens!), et [linea] a Καὶ

E mE puncto ad € ducta produca- iur. erit igitur ' LÁ 274 ΘΖ: ΘΚ — ΒΘ: ΘΗ

itaque ΖΘ: K minorem ra- 7 “ἃ ο΄ tionem habet; quam ambitus BO ad datum ambitum, quia

T "nea BG minor est ambitu ΒΘ [de sph. et cyl. I λαμβ. 1

p. 8], ei linea 6H (quia

lineae E aequalis est] maior ambitu dato [efr. Eucl.

V, 8]. itaque ΖΘ ad radium minorem rationem habet, quam ambitus BO ad datum ambitum.

1) Quod quo modo fieri possit, Archimedes non dicit; cfr. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXV p. 66 nr 2) Nam cum '4Z 4 4H, erit [. ΒΖθ -- 'eXH; et B6Z-—XK6H quare BGZ c ΚΘΗ; tum ἃ. Eucl. VI, 4

94 ΠΕΡῚ EAIKSN.

,

5.

Κύκλου δοϑέντος καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμᾶς ἐλάσ- ὅονος τᾶς διαμέτρου δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ποτὶ τὰν περιφέρειαν αὐτοῦ ποτιβαλεῖν εὐ-

5 ϑεῖαν τέμνουσαν τὰν ἐν τῷ κύκλῳ δεδομέναν γραμ- μάν, ὥστε τὰν ἀπολαφϑεῖσαν εὐθεῖαν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδο- μένας ποτὶ τὰν ἐπιξευχϑεῖσαν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ποτιπεσούσας τοῦ ἐπὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὸ ἕτερον

10 πέρας τῶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας εὐθείας τὸν ταχ- ϑέντα λόγον ἔχειν, εἴ κα ὃ δοθεὶς λόγος ἐλάσσων ἦ τοῦ, ὃν ἔχει & ἡμίσεια τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέναν.

δεδόσϑω κύκλος ὁ ABI, κέντρον δὲ αὐτοῦ τὸ K,

15 καὶ ἐν αὐτῷ δεδόσϑω εὐϑεῖα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου & DA, καὶ λόγος, ὃν ἔχει & Ζ ποτὶ H, ἐλάσσων τοῦ, ὃν ἔχει & ΓΘ ποτὶ τὰν ΚΘ, καϑέτου ἐούσας τᾶς ΚΘ. ἄχϑω δὲ ἀπὸ τοῦ κέντρου παρὰ τὰν 4Γ' ἁ ΚΝ, καὶ

Z—— . τῷ ΚΓ ποτ᾽ ὀρϑὰς & I A. 40 — Z4 —————— — — ὁμοῖα δή ἐστι τὰ ΓΘΚ,

5 ΓΚΑ τρίγωνα. ἔστιν οὖν, ὡς & ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΚ, i; VAN οὕτως & KT' ποτὶ τὰν ΓΔ. 4 A ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει

& Ζ ποτὶ τὰν H, ἣ & ΚΓ

ποτὶ τὰν ΓΑ. ὃν δὴ λόγον ἔχει & Z ποτὶ τὰν H, τοῦτον ἐχέτω & ΚΙΓ ποτὶ μεί- ξονα τᾶς ΓΑ. ἐχέτω ποτὶ τὰν ΒΝ. κείσϑω δὲ & BN μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ vüg εὐθείας διὰ τοῦ Γ΄’

25

10. πέρας] μερος F; corr. Torellus. 11. καὶ scripsi; και F, uulgo. ἦ] scripsi; y» F, uulgo. 18. αγμένων F; corr.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 25 VI.

Dato cireulo et in circulo linea minore, quam dia- meirus est, ΠΟΥ potest, ut ἃ centro circuli ad ambitum eius ponatur linea lineam in eirculo datam secans, ita ui linea inter ambitum et lineam in ecireulo datam comprehensa ad lineam, quae ducitur ab eo termino lineae ad ambitum ductae, qui in ambitu est, ad uirumuis terminum limeae in circulo: datae datam ra- tionem habeat, si ratio data minor est ea, quam habet dimidia pars lineae in circulo datae ad lineam ἃ centro ad eam perpendicularem duüctam.

sit datus circulus 4 BI, οὗ centrum eius K, et in eo data sit linea I'/ minor diamelro, et ratio, quam habet Ζ : H, minor ea, quam habet ΓΘ: ΚΘ, perpen- dieulari ducta linea ΚΘ. dueatur autem a centro linea ΚΝ lineae A4I' parallela, et linea I'4 ad KT' perpendicularis. erit igitur I'OK co I'K A [Eucl. I, 29]. quare D'O: 9 K — KI':I'4 [Eucl ΥἹ, 4]. erit igitur Z: H «« KI':I'4. ilaque quam rationem habet Z: H, eam habebit KI' ad lineam maiorem linea I4 [Eucl. V, 10]. habeat ad lineam BN. et ponatur linea ΒΝ per punctum I'!) inter ambitum et lineam [KN].?) fieri enim potest, ut ita secetur?) et cadet

1) Cfr. Zeitschr. f. Math., hist, Abth. XXV p. 66 not.

2) Per τᾶς εὐθείας lin. '29 uidetur significari linea. 4 Γ. quod cum ferri nequeat, fortasse addendum τὰς ΚΝ.

8) Hoc problema eodem fere redit, quo problema p. 28 nof. 1 commemoratum.

Torellius. 16. τοτί ὦ προς per comp. F; corr. Torellius. 17. ουσας F, uulgo. à καί B, ed Basi. 19. τὴ F, uulgo. 21. ἐχέτω ἁ] ἕξει "a ποτί] προς "per comp. F'; eorr. Torel- lius. 28. ποτέ} om. F; corr. Torellius; fort. del. ἐχέτω.

26 ΠΕΡῚ EAIK9NN.

δυνατὸν δέ ἐστιν οὕτως τεμεῖν xal πεσείται ἐκτός, ἐπεὶ μείξων ἐστὶν v&g ΓΔ. ἐπεὶ οὖν ἃ ΚΒ ποτὶ BN τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν & Z ποτὶ H, καὶ ἁ ΕΒ ποτὶ ΒΓ τὸν αὐτὸν ἔξει. λόγον, ὃν & Z ποτὶ H.

5 ξ΄.

Τῶν αὐτῶν δεδομένων καὶ vig ἐν τῷ κύκλῳ sU- ϑείας ἐχβεβλημένας δυνατόν ἐστιν ἀπὸ τοῦ κέντρου σοτιβαλεῖν ποτὲ τὰν ἐκβεβλημέναν, ὥστε τὰν μεταξὺ τὰς περιφερδίας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας ποτὶ τὰν ἐπι-

10 ξευχϑεῖσαν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ἐναπολαφϑείσας ποτὶ τὸ πέρας τᾶς ἐκβεβλημένας τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν, εἴ κα ὁ δοϑεὶς λόγορ μείξων 17) τοῦ, ὃν ἔχει & ἡμίσειᾳ τᾶς ἐν τῷ κύχλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ κέν- τρου κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέμαν.

15 δεδόσθω τὰ αὐτὰ, καὶ ἔστω ἁ ἐν τῷ κύκλῳ. γραμμὰ

ἐκβεβλημένα, ὃ δὲ δοϑεὶς

λόγος ἔστω, ὃν ἔχει & Ζ

ποτὶ τὰν H, μείξῳων τοῦ,

ὃν ἔχει & ΓΘ ποτὶ τὰν O K.

4 μείξων οὖν ἐσσείται καὶ

τοῦ, ὃν ἔχει ἁ K Γ ποτὶ I A.

ὃν δὴ λόγον ἔχει & Z ποτὶ

H— — — H, τοῦτον ἕξει ἃ Κ Γ ποτὶ

ἐλάσσονα τᾶς I4: ἐχέτω

26 ποτὶ IN νεύουσαν ἐπὶ τὸ I" δυνατὸν δέ ἐστιν οὕτως τέμνειν" καὶ πεσείται ἐντὸς τᾶς ΓΖ, ἐπειδὴ ἑλάσσων ἐστὶ τᾶς ΓΔ. ἐπεὶ οὖν τὸν αὐτὸν ἔχοι λόγον & ΚΙ'

2. KB] ἈΒΓ' expuncta ΓΈ; KT' BOC*; TK VD; BK ed. Basil., Torellius. stotí weoc per comp. T; corr. Ὁ". 8. τὰν .H ed. Basil, Torellius. . εὐθεῖαν ποτὶ susp. Torellius;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 91

οχίγα [lineam 1I'4]!), quia maior est linea ΓΖ. iam quoniam ΚΒ: ΒΝ -—Z:H [nam KB -- KI?], erit etiam EB: BI'— Z: H [nam K B: BN — EB: BI*5 Eucl. VI, 2].

VII.

lisdem datis et linea in circulo posita producta fieri potest, ut a centro ad lineam productam. ponatur linea, ita αὖ linea inter ambitum et lineam productam ad lineam, quae a termino lineae [in circulo] com- prehensae ad terminum produetae dueitur, datam ra- &tionem habeat, si data ratio maior est ea, quam ha- bet dimidia pars lineae in cireulo datae ad lineam ἃ ceniro δὰ eam perpendicularem ductam.

eadem data sint, οὐ linea in circulo posita pro- ducatur, et.da£a ratio sit Z : H, maior quam ΓΘ: ΘΑ͂. quare eliam Z: H 7» KI':I'4.") quam igitur ratio- nem habet Z: H, eam habebit .KI'.ad lineam mino- rem linea ΓΔ [Eucl V, 10]; habeat ad lineam IN δὰ punctum Γ᾽ uergentem. .fieri autem polest, ut ie secebur.?) οἱ inira lineam I'4 cadet, quoniam

1) Puto, haec uerba awdiri posé, neque necesse esse cum Nizzio scribere: τέμνειν, καὶ πεσξίται ἐκτὸς τᾶς ΓΛ lin. 1. Y 2) Nam KXI'G -o KT'A4; quare ΓΘ: OK — ΧΙ: IA (Eucl. I, 4). E ᾿ 8) U. prop. 5 p. 38 not. 1.

—————— M ———————————————————— o md

probat Nizazius. 10. εναποληφϑεισὰας F. 19. κα acripsi;

x«& F, uulgo. 15. ἐστω per comp, addito eve F; ἐστώτε C.

21. ποτί] προς per comp. Εἰ; corr. Torellius, ut lin. 22, 28, 25, . 28 ln 1 (ter. 26. veu» cum comp. ἢν F. τῆς Εἰ; corr. orellius. 21. τῆς per comp. F; corr Torellius.

b

10

15

20

25

28 IIEPI EAIKSN.

ποτὶ IN, ὃν ἃ Z ποτὶ H, καὶ & EI ποτὶ II' τὸν αὐτὸν ξξει λόγον, ὃν à Z ποτὶ τὰν H. η΄.

Κύκλου δοθέντος καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμᾶς ἐλάσ- σονος τᾶς διαμέτρου καὶ ἀλλᾶς ἐπιψαυούσας τοῦ κύκλου κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ποτιβαλεῖν τινα εὐθεῖαν ποτὶ τὰν εὐθεῖαν, ὥστε τὰν ἀπολαφϑεῖσαν dx αὐτᾶς μεταξὺ τῶς τοῦ κύχλου περιφερείας καὶ τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δεδομένας γραμμᾶς ποτὶ τὰν ἀπολαφϑεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν, εἴ κα ὃ δοθεὶς λόγος ἐλάσσων ἡ τοῦ. ὃν ἔχει & ἡμέσεια τὰς ἐν τῷ κύχλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ vot κέν- τρου τοῦ xüxAov κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέναν.

ἔστω κύκλος δεδομένος ὁ 4ΒΓ 2, καὶ ἐν τῷ κύχλῳ εὐθεῖα δεδόσϑω ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἁ I'4, καὶ & E44 ἐπιψαυέτω τοῦ κύκλου κατὰ τὸ D, καὶ λόγος, ὃν ἔχει & Ζ ποτὶ H, ἐλάσσων τοῦ, ὃν ἔχει & ΓΘ ποτὶ 6 K. ἐσσείται δὴ ἐλάσσων καὶ vov, Ov ἔχεε ἁ ΓΚ ποτὶ ΓΑ, εἴ κα παράλληλος ἀχϑῇ ἁ ΚΑ τῷ ΘΓ. ἐχέτω δὴ & KD ποτὶ ΓΙ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν & Ζ ποτὶ H. μείζων δή ἐστιν ἁ ΕΓ τᾶς ΓΔ. γεγράφϑω κύκλου περιφέρεια περὶ τὰ K, 4, AK. ἐπεὶ οὖν ἐστι μείξων ἃ ED τᾶς DA, καὶ mov ὀρϑάς ἐντι ἀλλάλαις αἱ ΚΓ, Ξ.4, δυνατόν ἐστι và MI' ἴσαν ἄλλαν ϑέμεν τὰν IN

2. e£ove: F; corr. Torellius. — 8. ποτὶ τὰν εὐθεῖαν errore om. Riualtus; prob. Torellius. αποληφϑεισαν P; corr. To- rellius, ut lin. 10. 11. τὰς] τῆς τας FC. 12. 1] gcripsi; ἐστι F, uulgo. 18. ποτί (bis)] προς per comp. F; corr. Torellius, ut lin. 20, 91 (bis); p. 80, 2, 8, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (bis). H] H ἔστω BC, ed. Basil, Torellius. 20. ἃ] ἡ F; corr. To-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 29

minor est linea ΓΖ. iam quoniam est KI':IN — Z: H, erit eliam EI:II'2Z:H.!)

VIII. -

Dato cireulo et in eo linea, quae minor est dia- meiro, et alia linea circulum in termino lineae in circulo datae contingenti, fieri potest, ut a centro circuli ad lineam [datam] linea ponatur, ita ut ea pars eius, quae inter ambitum circuli et lineam in circulo datam abscinditur, ad partem contingentis li- neae abscisam datam rationem habeat, si data ratio minor est ea, quam habet dimidia pars lineae in cir- culo datae ad lineam a centro ad eam perpendicula- rem ductam.

datus sib circulus 4BI'f, et in circulo data sit

linea I2 minor diametro, et linea ,5.4 circulum in

puncto I' contingat, et [data sit] ratio Z : H, minor

ea, quam habet ΓΘ: 0 K. erit igitur etiam Z:H«LDrK:IA4,

8i K.4 lineae OGI' parallela ducitur.) sit igitur KDI:D5-—2:H.

itaque erit ΚΑ Γ΄» ΓΖ [Eucl. V, 10]. describatur am-

bitus circuli per puncta K, 4, X. iam quoniam

AD IA, et KIT | AA, fieri potest, ut ponatur

1) Nam ΓΙΈ KIN; quare KI: IN — EI:II'; sed KI - KI. 2) Nam ΘΙ ὁ KI'A4; tum u. Eucl. VI, 4.

rellius. τῷ] τη F; corr. Torellius. — 22. δή] δὲ F; corr. Torellius. 24. τ κλλήλαις F; corr, Torellius.

30 ΠΕΡῚ EAIKON.

νεύουσαν ἐπὶ τὸ K. τὸ δὴ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν AI, I4 ποτὶ τὸ ὑπὸ: τῶν KE, 14 τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἁ AT ποτὶ ΚΕ, καὶ τὸ ὑπὸ τᾶν KI, IN ποτὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΚΙ, ΓΖ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, 0v & IN ποτὶ ΓΑ. ὥστε καὶ & IN ποτὶ L4 ἐστιν, ὡς & HI ποτὲ ΚΕ. ὥστε καὶ ἃ ΓΜ ποτὶ ΓΑ, καὶ & EI ποτὶ ΚΓ καὶ ποτὶ K B ἐστιν, ὡς & EI ποτὶ KE, καὶ λοιπὰ ἃ 1Γ ποτὶ BE τὸν αὐτὸν ἔὄχει

15 λόγον, ὃν & ΕΓ ποτὶ τὰν ΓΚ, καὶ ὃν & Η ποτὶ Ζ.

20

26

πέπτωκεν οὖν ἃ ΚΝ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, καὶ ἔχει & μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς εὐθείας ἃ BE ποτὶ

A 3 P 3 bl —- , N 9,5 * τὰν ἀπολαφϑεῖσαν ἀπὸ vXg ἐπιψαυούσας τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν & Z ποτὶ τὰν H.

ϑ'΄.

Τῶν αὐτῶν δεδομένων καὶ τᾶς ἐν τῷ κύκλῳ δε- δομένας γραμμᾶς ἐκβεβλημένας δυνατὸν ἀπὸ τοῦ κέν- τρου τοῦ κύχλου ποτιβαλεῖν ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν εὐθεῖαν, ὥστε τὰν μεταξὺ vüg περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας ποτὶ τὰν ἀπολαφϑεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπι-

— — ——— M M —

1. uid του F; corr. Torellius. 2. SIA F; corr. AB. τἂν] τῶν EF; corr. Torellius. 4. τὰν] vo» per comp. Εἰ: corr. Torellius, ui lin. 6. 685. KIN F; corr. ed. Basil. 6. τὸν αὖ- τὸν ἔχει Aéro», ὃν ἃ IN ποτὶ T4] om. F; corr. Commandi- nus. 8. ἃ] ἡ Εἰ; corr. Torellius, ot lin. 10, 11, 12, 13, 14.

14. λοιπη F uulgo. 15. Z] scripsi; vo Z 'F, uulgo. 18.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 31

linea Z.N lineae MI'aequalis ad punctum K uergens.!) erii igitur "SI15« I4: KE»« I4 — Ξ1: ΚΕ, οἱ KI »« IN : KI »« I'4A « IN : I'A. quare erit IN:IA-—BAI:KE) quare etiam ΓΜ:ΓΑ κα ΞΙ ΚΕ [mm ΓΝ I'M], et | AD:KI-—AD:KB [nam ΚΓ -- KB] — XI: K E?) et IT: BE-—— &8I': 'K*) — H:Z. iaque linea ἈΝ ad lineam contingentem ducta est, ei linea inler ambitum et lineam [AI'] posita, h. e. BE, ad partem lineage contingentis [ἃ K N] abscisam [h. e. II'] eandem rationem habet quam Z.: H.

IX.

lisdem datis et producta linea in circulo data fieri potest, ut ἃ ceniro cireuli ad lineam productam po- natur [linea], ita ut linea inter ambitum et lineam productam posita ad eam partem lineae contingentis,

1) Quod quo modo per sectiones conicas fieri possit, osten- dit Pappus I p. 298 (cfr. p. 272) duobus lemmatis praemissis; de cuius loci emendatione u. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIII p. 117 βα.; Balizer apud Hultsch: Papp. ΠῚ p. 1231 sq.

2) Nam XEI»«IA»x»KI»«IN (Eucl. III, 85), et KE»«IA4-KI»DnA4, quia EI't4 KA (tum u. Eucl. VI, 2).

8) Nam 'M:I4- 5D: XI (Eucl III, 35).

4) Nam cum sit '3I': KB 2» EI: KE, erit ἐναλλάξ

ΕΓ ἘΠῚ τὸ ΚΒ. ΚΕ, unde ἀναστρέψαντι ΞΤ : 1Γ τό ΚΒ:ΒΕ —DK:BE; tum ἐναλλάξ ED:DK-IDI:BE.

αποληφϑεισαν F; corr. Torellius. «vto» ἔχει Aoyov F'; corr. Torellins. 19. ὃν ἔχει Torellius. — H λογον F, uulgo; λογον eleui.

10

25

32 ΠΕΡῚ EAIKON.

ψαυούσας ποτὶ τὰν ἁφὰν τὸν ταχϑέντα λόγον ἔχειν, εἴ κα ὁ δοθεὶς λόγος μείξων d τοῦ, ὃν ἔχει à ἡμί- σεια τᾶς ἐν τῷ. κύκλῳ δεδομένας ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ κέντρου κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγομέναν. δεδόσϑω κύκλος 0 A4BI' 4, καὶ ἐν τῷ κύκλῳ εὑ- ϑεῖα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου & I'4 διάχϑω, καὶ ἐπι- ψαυέτω τοῦ κύκλου ἃ EI κατὰ τὸ I, καὶ λόγος, ὃν χει ἃ Z ποτὶ τὰν H, μείξων τοῦ, ὃν ἔχει ἃ ΓΘ ποτὶ τὰν ΘΚ. ἐσσείται δὴ μείξων καὶ τοῦ. ὃν ἔχει & ΚΓ ποτὶ τὰν D'4. ἐχέτω οὖν à KI' ποτὶ τὰν ΓΞ τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἁ Ζ ποτὶ τὰν Η. ἐλάσσων ἄρα ἐστὶν αὐτὰ τᾶς ΓΔ. πάλιν δὴ γεγράφϑω κύ- κλος διὰ τῶν X, K, 4 σαμείων. ἐπεὶ οὖν ἐλάσ- cov ἐστὶν ἃ ED τᾶς ΓΔ, καὶ ποτ’ ὀρϑάς ἐντι ἀλλάλαις αἴ K M, H EI, δυνατὸν và ΓΜ I—— — — —14 ἰσαν ϑέμεν τὰν IN νεύουσαν ἐπὶ τὸ K. ἐπεὶ οὖν τὸ ὑπὸ τῶν ΚΙ, 14 ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν AI, KE ἐστιν, ὡς EMI ποτὶ KE, ἀλλὰ τῷ μὲν ὑπὸ τᾶν HI, 14 ἴσον ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν KI, IN, τῷ δὲ ὑπὸ τῶν 41, KE ἴσον ἐστὶ τὸ ὑπὸ τἂν ΚΙ, ΓΔΑ διὰ τὸ εἶμεν, ὡς τὰν ΚΕ ποτὶ IK, οὔ- vog τὰν 4Γ ποτὶ 41, καὶ ὡς ἄρα & XI ποτὶ ΚΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τᾶν ΚΙ]. Ι1Ν ποτὶ τὸ ὑπὸ τῶν KI, ΓΑ, τουτέστιν ὡς NI ποτὶ ΓΑ, τουτέστιν ἁ ΓΜ ποτὶ ΓΛ.

2. ἢ] scripsi; om. F, uulgo; ἦν Torellus. 6. διηχϑὼ F; corr. Torellius. 9. ἐσσεέται] scripsi; ἔσται per coiwp. F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. aa

quae ad punctum iaeclionis uersus abscinditur, datam rationem habeat, si data ratio maior esb ea, quam habet dimidia pars lineae in circulo datae ad lineam ἃ centro ad eam perpendicularem ductam.

datus sib circulus 4BI'Z, et in circulo linea I4 ducatur minor diameiro, eti circulum in puncto I' con- σεῦ linea XI, et [data sit] ratio Ζ : H maior ea, quam habet ΓΘ: ΘΚ. erit igitur eliam

Z:H» KI:IA4. sit igitur KI':I' — Z: H. itaque erit 5 «14 [Eucl. V, 10]. rursus igitur circulus per puncta X, K, A describatur. iam quoniam EXI'I'A, et K M 1T, fieri potest, ut ponatur lineae I'M aequalis linea I.N ad K uergens. iam quoniam EIS«IA: AIS« KE — EI: KE, et KI»« IN -- X3I»«IA4 [Eucl. III, 35], et KI »«I4-— 41;»« ΚΕ,

qua KE:IK - 4Γ: 413), erit igitur eliam AI: KE-—EKISXIN:KISXIA-—NI:IA-—IM:IA.

1) De hoc problemate cfr. p. 31 not. 1. 2) Quia K I4 c» PIE, erit ΓΙ: I4 τῷ EI:IK (Eucl VI, 4) unde συνϑέντι ΓΛ: IA-— KE:IK. —

10. eyeco F. 18. αὐτὴ της F; corr. Torellius, 17. της EF;

corr. Torellius. 19. ἐντι! εἰσιν F, uulgo. αλληλαις E; eorr. Torellius. 20. vy E; corr. Torellius. 21. c cum comp. 7» F; corr. Torellius. ϑειναι την F; corr. Torellius.

42. τὰν] vo» (comp.) F; corr. Torellius, ut lin. 28, 24 (bis), 25, 26, 28 (bis). ZIA F, uulgo, ut lin. 24. 28. ποτί (bis)] προς per comp. EF; corr. Torellius, ut lin. 26, 27 bis, 28, 29 bis, P 84 lin. 1 bis, 2 bie. 41, KE] AX E supra scripta I man. 2

. 84. τῷ] vo F. 26. εἶμεν) ewe per comp. F; corr. To- rellus. 21. ἡ F; corr. Torellius, ut lin. 29, p. 34 lin. 1 bis, 2.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 3

ἔστιν δὲ xal ὡς & ΓΜ ποτὶ L'A, & AI' ποτὶ KT; τουτέστι ποτὶ KB. ἔστιν ἄρα, ὡς ἃ EI ποτὶ KE, & ED ποτὶ KB: καὶ λοιπὰ & ΙΓ ποτὶ λοιπὰν τὰν BE ἐστιν, ὡς & EI' ποτὶ ΓΚ. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἃ

5 EI ποτὶ ΓΚ, τοῦτον. ἔχει ἃ Η ποτὶ Ζ. ποτιπέπτωκεν δὴ & KE ποτὶ τὰν ἐκβεβλημέναν, καὶ & μεταξὺ τῶς ἐκβεβλημένας καὶ τᾶς περιφερείας ἃ BE ποτὶ τὰν II τὰν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας ἀπολαφϑεῖσαν τὸν av- τὸν ἔχει λόγον, ὃν ἃ Z ποτὶ τὰν Η.

ἢ

10 L.

Εἴ κα γραμμαὶ ἑξῆς τεϑέωντι ὁποσαιοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι, ἦ δὲ ἃ ὑπεροχὰ ἴσα τᾷ ἐλα- χίστᾳ, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεϑέωντι τῷ μὲν πλήϑει ἴσαι ταύταις, τῷ δὲ μεγέϑει ἑκάστα τᾷ μεγέστᾳ, τὰ

16 τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτιλαμβά- νοντα τό τε ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετράγωνον καὶ τὸ περι- ἐχόμενον ὑπό τε τᾶς ἐλαχίστας καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαις τριπλάσια ἐσσούν- ται τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ

20 ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν.

ἔστων γραμμαὶ ὁποσαιοῦν ἐφεξῆς κειμέναι τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι αἱ 4, B, Γ, 4, E, Z, Η.Θ, & 0b Θ ἴσα ἔστω τᾷ ὑπεροχᾷ. ποτικείσϑω δὲ ποτὶ τὰν B ἴσα τῷ Θ ἃ I, ποτὶ δὲ τὰν Γ ἁ K ἴσα và H, ποτὶ

25 δὲ τὰν 4 & 4 ἴσα τῷ Z, ποτὶ δὲ τὰν E ἁ M ἴσα τᾷ

1. οὕτως ἁ XI οἃ. Basil, Torellius. 8. ἡ F; corr. To- rellius (bis), ut lin, 4 bis, 5. * ποτί] προς per comp. Εἰ; corr. Torellius (bis), ut lin. 4, 6 bis. λοιπὴ et λοιπὴν F, uulgo. 8. ἀποληφϑεισαν F. 18. ταῖς} addidi; om. F. uulgo. 21. ἔστων} scripsi; δστω F, uulgo; ἔστωσαν AV et Nizzius. 2b. &] (prius) ς om.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 3b

est autem etiam | |

I'M:IAÁ4-—SD:KI [Euc.llI,35] — 3I': KB. ent igitur 51: KE-— SI: KB, et II: BE ESI: T'K.!) sed XD: ΓΚ « H:Z. iaque linea K E ad lineam productam ducta est, οὐ linea B E, quae inter lineam produciam et ambitum posita est, ad lineam ΓΙ, quae ἃ linea contingenti abscisa est, eandem rationem habet, quam Ζ : H.

X.

Si quotlibet lineae deinceps datae sunt aequali spatio inter se excedentes, et excessus minimae aequa- lis est, et praeterea aliae lineae datae sunt numero is aequales, magnitudine autem singulae maximae [aequales]?), quadrata linearum maximae aequalium adiecto οὐ quadrato maximae el rectangulo compre- henso minima lineaque omnibus simul lineis inter se aequali spatio excedentibus aequali triplo maiora erunt omnibus quadratis linearum aequali spatio inter se excedentium.

lineae quotlibet deinceps datae sint aequali spatio inter se excedentes 4, B, Γ, 7/, E, Z, H, O, et Θ aequa- lis sit excessui. et lineae B adiiciatur linea I lineae Θ᾽ aequalis, I'autem lineae linea K lineae H aequa- lis, 41 auiem lineae linea 4 lineae Z aequalis, E autem lineae linea M lineae E aequalis, Z aulem

1) Nam ἐναλλάξ est: EI:EI'—KE:KB, unde διελόντε ID: &SI'— BE: KB; lum ἐναλλάξ. 2) Fortasse scribendum lin. 14: ἑκάστα ἴσα τᾷ.

8*

σι

10

16

20

25

36 IIEPI EAIKQN.

E, ποτὶ δὲ τὰν Z & N ἴσα và 4, ποτὶ δὲ τὰν H & A ἴσα τᾷ T, ποτὶ δὲ «àv Θ & O ἴσα τᾷ B. ἐσσούνται δὴ αἱ γενομέναι ἴσαι ἀλλάλαις καὶ τᾷ μεγίστᾳ. δεικ- τέον οὖν, ὅτι τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶς τε 4 καὶ τᾶν γενομέναν ποτιλαβόντα τό τε ἀπὸ τᾶς Α τετρά- γωνον καὶ τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς 4, B, Γ, 4, E, Z, Η, Θ τριπλάσιά ἐντι τῶν τετραγώνων πάντων τῶν ἀπὸ τᾶν Α, B, I, 4, E, Z, H, 6. ἔστιν δὴ τὸ μὲν ἀπὸ τᾶς BI τετράγωνον ἴσον τοῖς ἀπὸ τᾶν I, B τετραγώνοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τᾶν B, I περιεχομένοις. τὸ δὲ ἀπὸ τᾶς ΚΙ' ἴσον τοῖς ἀπὸ τᾶν K, Γ' τετραγώνοις καὶ δύο τοῖς ὑπὸ τῶν K, I' περι- ἐχομένοις. ὁμοίως δὴ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τᾶν ἰσᾶν τᾷ 4 τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων . . τετραγώνοις καὶ δυσὶ τοῖς | ὑπὸ τῶν τμαμάτων περιεχο- o

μένοις. τὰ μὲν οὖν ἀπὸ τᾶν 4, B, T, 4, E, Z, H, Θ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν I, K, 4, M, N,

* A, O0 ποτιλαβόντα τὸ ἀπὸ li τᾶς 4 τετράγωνον διπλάσιά d |. ἔντι τῶν ἀπὸ τᾶν A, B, T, ie| 4, E, Z, H, Θ τετραγώνων. λοιπὸν δὲ ἐπιδείξομες, ὅτι τὰ διπλάσια τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ἐν ἑκατέρᾳ γραμμᾷ τᾶν ἰσᾶν τᾷ A4 ποτιλαβόντα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς

4 M N 4 E z

3, δή] Nizzius; δὲ F, uulgo; igitur" Cr. 11. τᾶν] (prins) scripsi; τῶν F, uulgo, ut etiam lin. 13,14. δύο] δυσί Torellius, utlin.18 (h.l'etium B) 19. τῆς F; corr. Torellius. 18. περι.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 9d

lneae linea N lineae 27 aequalis, H autem lineae linea ,X lineae I' aequalis, 6 autem lineae linea O lineae B aequalis. itaque quae oriuntur lineae, inter se οὐ lineae maximae aequales erunt. demonstrandum igitur, quadrata omnium linearum, et lineae .4 et earum, quae oríae sunt [adiiciendo], cum quadrato lineae ΑΓ et rectangulo comprehenso linea Θ᾽ et linea omnibus simul 4, B, Γ, 4, E, Z, H, 9 aequali triplo maiora esse omnibus quadratis hnearum 4, B, Γ, 7f, E, Z, H,0.!)

est igitur (B -]- I) — I? -]- B* --2 BI [Eucl. II, 4], et (K -- D)! τὰ K? 4- I*--2 KI: eodem modo igitur eliam ceterarum linearum lineae 44 aequalium qua- drata aequalia sunt quadratis partium et duobus rect- angulis & partibus comprehensis. iam 4) 4- BIS 8-4 Ε"- 23 -4- HH?-4-6 - 1

T KT ἘΠ Μὴ ΝΡ Κ᾽ - 05- 4 — 2(4 - B! -- I? Ὁ 4! J- E? 4- 22 4- H* 4-693)

deinde restat, ut demonstremus, dupla rectangulo- rum partibus uniuscuiusque linearum lineae 24 aequa- lium comprehensorum cum rectangulo

1) H. e. demonstrandum est esse A* 4. (Β- D* (DH E) d (4-44 -Ὲ (ΒΕ - Μὴ) J- (ὦ 4- Ny! 4- (H 4- Εν). (0 4-0 45- 0 »x(4-4-B-F-T--4-4-E-FEZ-4-H--68) «s B (4? -]- B* -- P3 -- 4? 4- E? -- Z3 -- H? 4- 65. » 2) Nam I € 0, K 2 H, 4 Z, Mzz E, N — 4, E T, x» B.

spouesov F; corr. B. 14. δή] àé Torellius. 11. ὑπό scripsi; «xo F, uulgo. 21. O ποτιλαβόντα)] OII οτι (comp. λαβοντα Εἰ; corr. AB. 23. τἂν] τῶν F, uulgo. 25. επι-

δείξομεν F, uulgo. 26. τῶν ἐν] scripsi; τῶν om. F, uulgo..

38 ΠΕΡῚ EAIKON.

Α, B, I, 4, E, Z, H, Θ ἴσα ἐντὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν 4, B, I,24,E,Z, H, Θ. καί ἐντι δύο μὲν τὰ ὑπὸ B, I περιεχόμενα ἴσα δυσὶ τοῖς ὑπὸ τῶν B, 0 περιεχομέ- voig, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν K,I' ἴσα τῷ περιεχομένῳ

5 ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς τετραπλασίας τᾶς Γ διὰ τὸ τὰν

K διπλασίονα εἶμεν τᾶς Θ, δύο δὲ τὰ ὑπὸ τᾶν 4, 4 ἴσα τῷ ὑπὸ τᾶς O καὶ τᾶς ἑξαπλασίας τᾶς 21 διὰ τὸ τὰν 4 τριπλασίαν εἶμεν vüg Θ. ὁμοίως δὴ καὶ τὰ ἄλλα τὰ διπλάσια τὰ περιεχόμενα ὑπὸ τῶν τμαμάτων

10 ἔσα ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς πολλα-

πλασίας ἀεὶ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριϑμοὺς ἀρτίους τᾶς ἕπο- μένας γραμμᾶς. τὰ οὖν σύμπαντα ποτιλαβόντα τὸ περιεχόμενον ὑπό vs vig Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς A, B, I, 4, E, Z, H, Θ ἐσσούνται ἴσα τῷ περιξχο-

15 μένῳ ὑπό τε τᾶς O καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τᾷ τε 4 καὶ

20

25

τᾷ τριπλασίᾳ τᾶς B καὶ vg πενταπλασίᾳ τᾶς D' καὶ ἀεὶ τᾷ [περισσὰ] κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριϑμοὺς περισσοὺς πολλαπλασίᾳ τᾶς ἑπομένας γραμμᾶς. ἐντὶ δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν 4, B, T, 4, E, Z, H, Θ τετράγωνα ἴσα τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶν αὐτῶν γραμμᾶν. ἔστι γὰρ τὸ ἀπὸ τᾶς 44 τετράγωνον ἴσον τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας [πάσαις] τῷ τε .4 καὶ τᾷ ἴσα ταῖς λοιπαῖς, ὧν ἑκάστα ἴσα và 4 ἰσάκις γὰρ μετρεῖ ἅ ve Θ τὰν 4, καὶ & Α τὰς ἴσας αὐτᾷ πάσας σὺν τῷ A4. ὥστε ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ A4 τετράγωνον τῷ περιεχομένῳ ὑπό τὸ τᾶς Θ καὶ vüg ἴσας τᾷ .4 καὶ τᾷ διπλασίᾳ τῶν B, I, 4, E, Z, H, Θ' αἵ γὰρ ἴσαι τᾷ 4 πάδαι

1. vo» F, uulgo, ut lin. 8, 4. 2. καί ἐντι) scripsi; καὶ eme, F, uulgo. 8. δή] scripsi; δὲ F, uulgo. 10. παλλα- πλασιὰας F. 17. πδρισσα) deleo. 18. πολλαπλασίᾳ) scripsi; πολλαπλασιους F, uulgo. 19. τῶν] to» F, uulgo. 22. πά-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 80 8»(44- B--D4-4-4-E4- Z J- H 4- 8)

aequalia esse omnibus simul “48 -- B* -- T? -4- 2g? H- E* 4- H* -- e,

est enim 2B »« I —— 2B »« 0, et 2K »« I' 2 6 2« 4T, quia Καὶ --- 26, et 2 4 »« 4 — 0 »« 6 Z4, quia 4 — 36. eodem modo igitur etiam dupla ceterorum rectan- gulorum partibus comprehensorum aequalia sunt rect- angulis comprehensis linea € et linea semper secun- dum numeros pares deinceps positos multiplici lineae sequentis. omnia igitur [rectangulorum dupla] cum rectangulo

6»«(4--B--D--4--E-X-Z4- H-4- 6) aequalia erunt 6»«(4-4-3B--5T--14-L-9E--11Z-4-13 H 4- 156). sed etiam

P -ἰ BÓ -Γ". “43. Ε - Ζ5) -ἰ ΗἹ - 9. eidem rectangulo aequalia sunt. nam .4* aequale est rectangulo comprehenso linea Θ᾽ et linea, quae aequalis est et lineae 44 et lineae aequali ceteris, quarum quae- que lineae 44 aequalis est." [nam quoties linea Θ᾽ li- neam .4 metitur, toties etiam linea 4“ omnes lineas Sibi aequales cum linea 44] quare erit

4! es 8 »«(4 4- 2(B4- P4- 4-4- E4-Z 4- H 4- 6)).

1) H. e. 43 & 8 x (4 4- (B -- 1) -- (P 4- K) H- (4 4- 4) aao 1 Ὁ GE N) E (Β Ἔ A E (EO) m eoe

co:g] deleo. — 923. ὧν] o» F, uulgo. ισακ cum comp. «e F. 24. σύν] εν Εἰ; corr. Torellius. 27. τῶν] των F, uulgo. B] 48 F; corr. B, ut p. 40 lin. 1. |

10

15

20

40 ΠΕΡῚ EAIESNN.

χωρὶς τᾶς 44 διπλασίαι ἐντὶ τἂν B, Γ, 4, E, Z, H, 6. ὁμοίως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τᾶς B τετράγωνον ἴσον ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾷ τε B καὶ τᾷ διπλασίᾳ τᾶν I, 4, E, Ζ, H, Θ. καὶ πάλιν τὸ ἀπὸ τῶς Γ' τετράγωνον ἴσον τῷ ὑπὸ τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας τᾷ τε Γ' καὶ τᾷ διπλασία τᾶν 4, E, Z, Η, 6. ὁμοίως δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τοῖς περιεχομένοις ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας αὐτᾷ ve καὶ τῷ διπλασίᾳ τᾶν λοιπᾶν. δῆλον οὖν, ὅτι τὰ ἀπὸ πασᾶν τετράγωνα ἴσα ἐντὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς Θ καὶ τᾶς ἴσας πάσαις τῷ τε 4 καὶ và τριπλα- σίᾳ τᾶς B καὶ τᾷ πενταπλασίᾳ τᾶς Γ καὶ τᾷ κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριϑμοὺς περισσοὺς πολλαπλασίᾳ τᾶς ἑπομένας.

ΠΟΡΙΣΜΑ.

Ἔκ τούτου οὖν φανερόν, ὅτι τὰ τετράγωνα πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τῷ μεγίστᾳ τῶν μὲν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν ἐλάσσανά ἐστιν ἢ τριπλάσια, ἐπειδὴ ποτιλαβόντα τινὰ τριπλάσιά ἔντι, τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώ- vov μείζονα ἢ τριπλάσια,. ἐπειδὴ τὰ ποτιλαφϑέντα ἐλάσσονά ἐστιν ἢ τριπλάσια τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας -

5. της Γ' F; corr. Torellius. ὑπό τε ra; ΘΒ. 6. 44] om. F; corr. Torellius. 9. vov λοιπῶν F, uulgo. 14. πό- φισμα] om. F, uulgo. 19. της μεγιστῆς E; corr. D. Post τετραγώνου in F uacat spatium adpositis IV punctis.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 41

[nam (B-4-1)-4- (D4- K) Ἑ (4 Ὁ 4) 4- (E 4- M) -- (Z 4- N) 4- (GI 4- 8) -- (8 4- N) —2(B--I--z4--E--Z--H--9)

eodem autem modo etiam

B!-2(B-42(D---4-E--Z-4- H-4- 9),

el rursus

T? —68»(D-4-2(44- EJ-Z 4- H 4- 8),

οὐ eodem modo eliam celerarum quadrata aequalia

sunt rectangulis comprehensis linea € et linea aequali

ipsi lineae et duplo ceterarum. adparet igitur, qua- draía omnium [linearum] aequalia esse rectangulo eomprehenso linea € et linea, quae aequalis est

44-3B-r-5rT--14--9E-4-11Z4- 13 H 1-156.)

COROLLARIUM.

Hinc igitur manifestum est, omnia quadrata linea- rum maximae aequalium minora esse quam triplo maiora [omnibus] quadratis linearum aequali spatio inter se excedentium, quoniam adiectis demum qui- busdam [spatiis]") triplo maiora sunt, reliquis autem praeter quadratum maximae maiora esse quam triplo maiora, quoniam quae adiecta sunt, minora sunt quam

1) Cum littera 4 lin. 6 in codd. desit, fortasse sic scri- bendum est lin. 6: xol τᾷ διπλασίᾳ τἂν 4, E, Z, H, 8. καὶ πάλιν τὸ ἀπὸ τᾶς 4 τετράγωνον ἴσον và ὑπὸ vig O xal τὰς ἴσας và τε d καὶ τὰ διπλασέᾳ τᾶν E, Z, H, Θ.

2) Huius demonstrationis tenor mire praeposterus est; quare suspicari licet, hic illic quaedam explicandi causa interposita esse, quae in interpretatione Latina uncis inclusi. demonstratio ipsa magis. perspicue exposita est et simul ea ratione, qua nunc utimur, confecta ab Nizzio p. 126—927; cfr. Quaest. Arch. p. 52— 58.

3) Sc. 43--692« (4 3-B-F-T"-4-4--E-FZ-4- H 4- 6).

10

1

2

2

6

0

Q

49 | ΠΕΡῚ EAIKSN.

τετραγώνου. καὶ τοίνυν εἴ κα ὁμοῖα εἴδεα ἀναγρα- φέωντι ἀπὸ πασῶν ἀπό τε τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ- ἐεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τῶν ἰσᾶν τᾷ μεγέστα, τὰ εἴδεα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστα τῶν μὲν ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν εἰδέων ἐλάσσονα ἐσσούνται ἢ τριπλάσια, τῶν δὲ λοιπῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγί- στας εἴδεος μείξονα ἢ τριπλάσια. τὸν γὰρ αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις.

ux.

Et κα γραμμαὶ ἑξῆς τεϑέωντι ὁποσαιοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι, καὶ ἄλλαι γραμμαὶ τεϑέωντι τῷ μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλασσόνες τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ- ἐεχουσᾶν, τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τῷ μεγίστᾳ, τὰ τετράγωνα πάντα τὰ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τῷ μεγέίστα ποτὶ μὲν τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ- ἐχουσᾶν χωρὶς τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι, ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ τὸ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς μεγίστας καὶ τὰς ἐλαχίστας καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς τετραγώνου, ᾧ ὑπερέχει & μεγίστα τᾶς ἐλα- χίστας, ποτὶ δὲ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τετραγώνου μείζονα τοῦ αὐτοῦ λόγου.

ἔστωσαν γὰρ γραμμαὶ ὁποσαιοῦν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι ἑξῆς κειμέναι, ἃ μὲν AB τᾶς ΓΖ, ἁ δὲ

1. ἀναγραφέωντι] scripsi; αναγεγραφεωντι F, uulgo. 8. τὰ εἴδεα... μεγίστῳ] om. F; corr. Commandinus. Ante prop. 11 in F spatium quasi figurae relinquitur; in mg. adscripsit ma- nus 2: ,vacat spá^". 16. τῆς ἐλαχίστης FB*; fort. τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλ. 19. τοῦ... τετραγώνου] scripsi; τῶ .. τετραγωνω F, uulgo. 94. ἔστωσαν per comp. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 43

irplo maiora quadrato maximae.!) et eliàm si species similes eonstruuntur in omnibus lineis, et iis, quae aequali spatio inter se excedunt, et quae maximae aequales sunt, species in lineis maximae aequalibus minores erunt quam triplo maiores, quam [omnes] species, quae in lineis aequali spatio inter se exce- dentibus construetae sunt, reliquis autem praeter eam, quae in maxima construeta est, maiores quam iriplo maiores. nam species similes eandem ralionem habe- bunt, quam quadrata [Eucl. VI, 20].

XI.

Si lineae quotlibet deinceps ponuntur aequali spatio inter se excedentes, et aliae quoque lineae ponuntur numero una pauciores lineis aequali spatio inter se excedentibus, magnitudine uero singulae maximae aequales, omnia quadrata linearum maximae aequa- lium ad quadrata linearum aequali spatio inter se excedentium praeler [quadratum] minimae minorem rationem habent, quam quadratum maximae ad spa- lium utrique aequale, οὐ rectangulo maxima οὗ minima comprehenso οὗ tertiae parti quadrati exeessus, quo maxima minimam excedit, ad quadrata autem linea- rum aequali spatio inter se excedentium praeter qua- dratum maximae rationem maiorem eadem ratione.

sint enim quotlibet lineae &equali spatio inter se excedentes deinceps positae, ita ut lmea 4B lineam

2€ (4 FG 4 D--QI-FEr-MEuR N 6 -]- O)) (p. 89 not. 1) 4-FE-rFZ-H-T. Itaque quae

10

15

20

25

44 ΠΕΡῚ EAIKO9N.

ΓΖ τᾶς EZ, à δὲ EZ τᾶς HO, ἁ δὲ HO τᾶς IK, & δὲ IK τᾶς AM, ἁ δὲ AM τᾶς ΝΗ͂. ποτικείσϑω. ὃὲ ποτὶ μὲν τὰν ΓΖ ἴσα μιᾷ ὑπεροχᾷ & ΓΟ, ποτὶ ὃδὲ τὰν EZ ἴσα δυσὶν ὑπεροχαῖς ἃ EII, ποτὶ δὲ τὰν ΗΘ ἴσα τρισὶν ὑπεροχαῖς & HP, καὶ ποτὶ τὰς ἄλλας τὸν αὐτὸν τρόπον. ἐσσούνται δὴ αἱ γενομέναι ἀλλάλαις ἴσαι, καὶ ἑκάστα và μεγίστᾳ. δεικτέον οὖν, ὅτι τὰ ἀπὸ πασᾶν τῶν γενομέναν τετράγωνα ποτὶ μὲν πάντα τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ πασᾶν t&v τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς NX τετραγώνου ἐλάσ- dove λόγον ἔχει, ἢ τὸ ἀπὸ vüg 4B τετράγωνον ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ vs περιέχομένῳ ὑπὸ τᾶν AB, ΝΕ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τὰς NT τετραγώ- νου, ποτὶ δὲ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τῶν αὐτᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς 41Β τετραγώνου μείζονα λόγον ἔχει τοῦ αὐτοῦ λόγον.

ἀπολελάφϑω ἀφ᾽ ἑχάστας τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν ἴσα τᾷ ὑπεροχᾷ. ὃν δὴ λόγον ἔχει τὸ - ἀπὸ τὰς 48 ποτὶ συναμφότερα τό vs ὑπὸ τῶν AB, ΦΒ περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς 4 ᾧ τετραγώνου, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον τό τε ἀπὸ τᾶς OZ τετράγωνον ποτί τε τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΟΖ, 4X καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς XO τετρα- γώνου, καὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΠΖ ποτὶ τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶν ΠΖ, ΨΖ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς "UII τετραγώνου, καὶ τὰ ἀπὸ τᾶν ἀλλᾶν τετράγωνα ποτὶ τὰ ὁμοίως λαμβανόμενα χωρία. ναὶ τὰ πάντα δὴ τὰ ἀπὸ πασᾶν τᾶν ΟΖ, IZ, PO, ΣΚ,

TM, TX ποτί vs πάντα τὰ περιεχόμενα ὑπό τε τᾶς

8. δέ] Nizze; δὴ F, uulgo. ταν] τα F; corr. B. 6. oà-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 45

ΓΖ excedat, ΓΖ lineam EZ, EZ lineam HO, ΗΘ lineam IK,IK lineam 4M, 4M lineam NA. οἱ lineae ΓΖ adiüciatur linea I'O uni excessui aequalis, lineae autem EZ duobus excessibus aequalis linea ἘΠ, lineae autem ΗΘ tribus aequalis linea H P, cete- risque eodem modo. itaque quae oriuntur lineae, inter se aequales erunt, et unaquaeque maximae [aequalis]. demonstrandum igitur, quadrata omnium lmearum, quae [adiiciendo] ortae sunt, ad omnia qua- drata omnium linearum aequali spatio inter se exce- dentium praeter quadratum lineae NX minorem ratio- nem habere, quam 4B? : AB »« NS - $ ΝΥ, ad quadrata uero earundem linearum praeter quadratum lineae 4B rationem maiorem eadem ratione:

a singulis lineis aequali spatio inter se excedentibus abscindatur [linea] excessui aequalis. itaque erit:

AB: 4B»« 0B --4 A4d* — 04:042 4X 4-4 XO? — I123: HZ» VZz-- 4I, et eandem rationem habebunt quadrata ceterarum [li- nearum] ad spatia similiter composita. quare etiam erit

[Eucl. V, 12]

ληλαις F; corr. Torellius. 18. HE F. 288. P9] PO F. 29. τὰ] addidi; om. F, uulgo.

10

15

20

2b

46 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

NA καὶ τᾶς ἴσας πάδαις ταῖς εἰρημέναις γραμμαῖς καὶ τὰ τριταμόρια τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν OX, ΠΨ, PO, Σ΄, Ta, TN τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον, ὃν τὸ ἀπὸ τᾶς 4B τετράγωνον ποτὶ τὰ συν- ἀμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν AB, OB περιεχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ 4 τετραγώνου. εἰ οὖν κα δειχϑῇ τό vs περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς NE καὶ τᾶς ἴσας πάσαις ταῖς ΟΖ, IIZ, PO, ZK, TM, TA καὶ τὰ τρίτα. μέρεα τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τῶν ΟΧ, ΠΨ, PO, ΣΦ. Ta, TN τῶν μὲν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν 4B, ΓΖ, EZ, HO, IK, AM ἐλάττονα, τῶν ób τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΖ, ΕΖ, HO, IK, AM, NA μείξονα, δεδειγμένον ἐσσεί-

4,0 .IH.P.Z TT. vu, τὸ προτεϑέν. ἐντὶ δὴ τὸ μὲν περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς NA καὶ τᾶς ἴσας πάδαις ταῖς ΟΖ, ΠΖ, PO, ΣΚ, TM, TA καὶ τὰ τρίτα μέρεα τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν OX, ΠΨ, ΡΩ, ΣΦ, Ta, TN ἴσα τοῖς τετραγώνοις *| Tee ΤΑΝ: τοῖς ἀπὸ X44, ΨΖ, 00, OK, Β. ΜΗ ol xls MI qM, NE καὶ và περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς ΝΗ καὶ τᾶς ἴσας πά-

σαις ταῖς OX, ΠΨ, ΡΩ, ΣΦ. Ta, TN καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν OX, ΠΨ, ΡΩ, ZO, Ta, DN. τὰ ὃὲ ἀπὸ τῶν AB, L'A, EZ, ΗΘ, IK, AM τετράγωνα ἴσα τοῖς ἀπὸ τᾶν B, X4, WZ, 2. τριταμωρια Β. 8. Σ᾿] ZA F, ut lin: 10 et infra sae- pius; nam 9) in F plerumque ita deprauatum est, ut similli- mum sit litterae .4, et eandem formam Jraebet ed. Basil. (^).

T4] hic et lin. 10 littera q in similitudinem compendii πρός corrupta est, 9. μερη Εἰ, uulgo. 10. uév] addidi; om. F,

DN Li

DE LINEIS SPIRALIBUS. 41

04) 4- IIZ -- P8! -- EK! -- TM? -- T&3 : NÀ x (04 -- HZ 4- P8 4- EK 4- TM 4- TA)) -H 4 (OX? -- I1'P? 4- P9? -- ZON Ὁ Τῷ -- 7N?)

z 48": 4B»« B -- 4 0.4. itaque si demonstrauerimus

N& x (04 -- IZ 4- P8-- ZK - TM 4- 7A) -F 1 (OX* -L- I19? 4- P9? -- ZOy -- T$? -- PN?

«— AB? -- ΓΖ“ A- EZ? -ἰ He? -- IX? -- AM?,

sed

2» L4? -- EZ -4- He* J- IK* -- AM? -- ΝΕ",

demonstratum erit, quod propositum est [Eucl. V, 8]. eri igitur NAR x (04 4- HZ 4- P8 4- ZK -- TM -- TA) -F 4 (OX? 4- ID? -4- P3 -- ZO 4- Té -- TN?) z (X 4? -]- ΨΖ' - $0* -- Κ' -- aM? 4- NA?) J- NE »« (QX -- ΠΨ - PO -- ZO, 4- Ta 4- TN) F4 (OX? -- Ir" -4- P9? - ZO -- TG -- TN?)3)

1) Nam 4X z VZ:z-0-K9O9 -MqzsNGE. Arcbi- medes enim tacite supponit, hic quoque minimam linearum aequali spatio inter se excedentium excessui aequalem esse (nec alioquin in demonstrando prop. X uti potuit), quamquam nec ad demonstrationem conficendam per se necessarium est, nec postea, ubi hac propositione utitur (prop. 26 et 26), ab eo ad- sumitur.

2) Nam Oz 0X -ἰ X4, IIZ 2 IIVT -- ΨΖ cett., eb NE --3X.4:-UZ cett.

uulgo. 12. τραγωνων F. 11. TA] TN E; corr. Torellius. 18. μερη F, uulgo. 21. $0] pro €& in F est compendium uerbi ovrog mire corruptum. — 28. καί τὰς] vag om. F, uulgo.

48 ΠΕΡῚ EAIK9NN.

£20, OK, aM τετραγώνοις καὶ τοῖς ἀπὸ τᾶν A44, DX, EVT, H9, 1. 4« καὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ τᾶς ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τῶν 4Φ, ΓΧ, EV, HO, 195, Aq. κοινὰ μὲν οὖν ἐντι ἑκατέρων τὰ τετράγωνα τὰ 5 ἀπὸ vüv ἰσᾶν τᾷ NE. τὸ δὲ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶς NA καὶ τᾶς ἴσας ταῖς OX, II, P, O9Z, aT, TN ἔλασσόν ἐστι τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τᾶς ΒΦ καὶ τᾶς διπλασίας τᾶν ΑΦ, ΓΧ, ΕΨ, H9, ION, 4a διὰ τὸ τὰς νῦν εἰρημένας γραμμὰς ταῖς μὲν ΓΟ, ΕΠ, PH, 10 IZ, AT, T'N ἴσας εἶμεν. τᾶν δὲ λοιπῶν μειξόνας. καὶ τὰ τετράγωνα δὲ τὰ ἀπὸ τῶν 40, ΓΧ, EV, H9, 1. 44 μείξονά ἐντι τοῦ τρίτου μέρεος τῶν ἀπὸ τᾶν OX, II'U, PO, ΣΦ. Ta, TN- δεδείκται γὰρ τοῦτο . ἐν volg ἐπάνω. ἐλάττονα ἄρα ἐντὶ và ῥηϑέντα χωρία 16 τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν AB, ΓΖ, EZ, ΗΘ, IK, AM. λοιπὸν δὲ δειξοῦμες, ὅτι μείζονά ἐντι τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ riv ΓΖ, EZ, HO, IK, AM, NEA. πάλιν δὴ và τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΓΖ, EZ, ΗΘ, IK, AM, NA ἴσα ἐντὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν XT, 20 ΒΨ, ΗΩ, 1. AG καὶ τοῖς ἀπὸ τἂν X4, ΨΖ. 96, O)jK, aM, NA καὶ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τε τᾶς ΝΗ καὶ τᾶς διπλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ, ΕΨ, HO, IOS, 4a. καί ἐστι κοινὰ μὲν τὰ ἀπὸ τᾶν X4, UZ, 20, OK, Ma, NA, μεῖξον δὲ τὸ ὑπό τε τᾶς NA καὶ τᾶς ἴσας

2. H9] M9 F supra scripto H manu 1. ΤᾺ] P9, "Hal scripbo I manu 1 F. 8. ταν ΒΦ F; corr. A?, ed. Basil.

N92 F. In figura pro 9 in F acribitur Il, AM littera 7 9. γραμμαις F; corr. Torellius. I'O] ΓΘ T, sed corr. ma- nus 1l. 12. μείζονά ἐντι.. . . lin. 18: LN om. F; corr. To- rellius (nisi quod μέρους habet lin. 12) et ommandinus (ἐστι, μέρους, τῶν τετραγώνων τῶν ἀπό). 15. τὰν] τῶν per comp. F; corr. Torellius. 106. δείξομεν F, uulgo. 20. καὶ τοῖς. lin. 21: NJ] om. F; corr. Commandinus. 22. H2] H om. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 49

sed AB? -- IZ? -- EZ --- He? -- TK? - AM?

-- (Bd? -I- Xf! -- *9Z? -- 26* -- OK? -- aM?) J- (44 -- PX? -- E*? -- H9? -- IO -- 49?) J- B »«2(40 - X -- EZ 4- H9 -- I9, ῸῸ 49a) [Eucl II, 4] itaque utriusque partis communia sunt quadrata linearum lineae ΝΞ aequalium, et praeterea est NA »« (OX 4- I1 -- 9P-- ἋΣ --aT-I-TN) « B 5»«2(490 -- 'X 4- ET -- H9 -- IO 4- 49),

quia hae lineae aequales sunt lineis IO -- EII - PH -- IZ--AT-- TN, sed reliquis [PX 4- E^ -- H9-|- IOS -Ἰ 4a] maiores [et OX 4- IIT - 29P-- OZ --aT-E- TN — ΓΟ ΕΠ PH -- IZ-4- AT 4- TN) 4 (DX -- EV -- H9, 4- IO) 4- 4«8)]. sed etiam A49? -- X? -- ET? -- H9? - IO -- Ao? (0X? -- I1?? -- P9? -- ZOy - Τα -- "N?) hoec enim supra demonstratum est [prop. 10. coroll. p. 40]. itaque [omnia simul] quae commemorauimus, spatia erunt « AB? -- ΓΖ“ 4L EZ? --- HG? -- IK? -- AM*. deinde autem demonstrabimus, maiora ea esse quam I'/*-- EZ! - ΗΘ -- IK? -- AM? --ENA?. rursus igitur erii: DZ?--EZ -J-H8*--IK*-- AM? - NX?

— (XI? -- EU? -- H9? -- IO? -- 4o) (X4 -- ΨΖ' -- 26 -ἰ Ὁ Κ' - αΜ'-Ὁ NR?) ἜΝΑΣ»«2(ΓΧ. ΕΨ-ΚΗΩ- 12-} 49) [Eucl. IT, 4]. el communia sunt

X4 -- PZLROAKUEMSENE

Archimedes, ed. Heiberg. II.

σι

10

15

20

50 ΠΕΡῚ EAIK9NN.

πάσαις ταῖς OX, II'U, PQ, ΣΟ, Ta, TN τοῦ ὑπὸ τᾶς ΝΗ͂ καὶ τὰς διπλασίας πασᾶν τᾶν ΓΧ, ΕΨ, ΠΩ, IOS, 44. ἐντὶ δὲ καὶ τὰ τετράγωνα τὰ ἀπὸ τᾶν ΧΟ, WII, ὩΡ, ὯΣ,4Τ, TN τῶν ἀπὸ τᾶν X, EV, ΗΩ, IOS, 43a μείξονα ἢ τριπλάσια. δεδείκται γὰρ καὶ τοῦτο. μείξονα ἄρα ἐντὶ τὰ ῥηθέντα χωρία τῶν τετραγώνων τῶν ἀπὸ τᾶν ΓΖ, EZ, ΗΘ, IK, AM, ΝΑ͂.

ΠΟΡΙΣΜΑ.

Καὶ τοίνυν εἴ κα ὁμοῖα ἀναγραφέωντι ἀπὸ πασᾶν ἀπό τε τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν καὶ ἀπὸ τἂν ἰσᾶν τῷ μεγέστᾳ εἴδεα, πάντα τὰ ἀπὸ τῶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ τὰ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-

“ὖ —- 2 8 t ’ / ἐχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας εἴδεος ἐλάσσονα λόγον ἑξοῦντι, ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ποτὶ τὸ ἴσον ἀμφοτέροις τῷ τε περιεχομένῳ ὑπό τε vüg μεγίστας καὶ τᾶς ἐλαχίστας καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ὦ ὑπερέχει à μεγίστα τᾶς ἐλα-

3 9 € ^ 3. - ^ χίστας, ποτὶ δὲ và ἀπὸ τᾶν cvr&v εἴδεα χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείξονα τοῦ αὐτοῦ λόγου. τὸν αὐτὸν γὰρ ἑξοῦντι λόγον τὰ ὁμοῖα εἴδεα τοῖς τετραγώνοις.

ΟΡΟΙ.

α΄. Εἴ κα εὐϑεῖα ἐπιξευχϑῇ γφαμμὰ ἐν ἐπιπέδῳ καὶ μένοντος τοῦ ἑτέρου πέρατος αὐτᾶς ἰσοταχέως

1. IIV'] IIP F. 3. τά] (prius) addidi; om. F, uulgo.

6. ἐντέ] εἐντη F. 8. πόρισμα] om. F, uulgo; ,,corollarium praemissae Cr. 10. ἀαναγραφεδντι Εἰ; corr. B. 11. ἰσᾶν... in. 19: ἀπὸ τἂν] om. F; corr. Torellius. 14. τό] (prius) zo F.

20. δξουσι F, uulgo. 21. ὅφοι] om. F, uulgo; , definitiones" Cr. 38. καί om. ἘΠ; corr. Torellius. ισοταχει ὡς F'; corr. B.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 51

οὐ ΝΕ »« (OX -- II ---P9, -e- ΣΦ -]- Ta -- TN) 2» NE» 2(DX-LF EU -- H9 -|- I9) »« 40).?) et praeterea sunt

XO? -- VII? ΡΒ ΟΣ" -qT? -- PN?

—8(IX-L-EW?--Hf9 --19y -Ἰ 4a).

nam hoc quoque demonstratum est [prop. 10 coroll. p.40] itaque [omnia simul] spatia, quae commemo- rauimus, maiora sunt quam

D4i-- ΕΖ -L HG?-- IK? -- AM3 -- NR*.

COROLLARIUM.

Quare etiam si in omnibus lineis, et iis, quae aequali spatio inter se excedunt, et iis, quae maximae aequales sunt, similes species consiruuntur, omnes specles in lineis maximae aequalibus constructae ad Species in lineis aequali spatio inter se excedentibus constructas praeter speciem in minima constructam Ὁ minorem rationem habebunt, quam quadratum maximae lineae ad spatium utrique aequale, et rectangulo linea maxima et minima comprehenso et terliae parti qua- drati excessus, quo maxima minimam excedit, ad Species uero in iisdem lineis constructas praeler spe- elem in maxima constructam rationem eadem ratione maiorem. nam species similes eandem rationem habe- bunt, quam quadrata [Eucl. VI, 20].

DEFINITIONES. I. Si in plano recta linea ducitur et manente altero termino aequabiliter cireumacta rursus in eum

1) Nam I'O -J- EII -- PH -- IZ J- AT -- TN 2 DX-FEU-- H2 19) - 48 tum Ὁ. p. 49, 12 sq. A*

5

10

15

20

25

59 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

περιενεχϑεῖσα ἀποκατασταϑῇ πάλιν, ὅϑεν ὥρμασεν, &u& δὲ τᾷ γραμμᾷ περιαγομένᾳ φέρηταί τι σαμεῖον ἰσοταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ κατὰ τᾶς εὐθείας ἀρξάμενον ἀπὸ τοῦ μένοντος πέρατος, τὸ σαμεῖον ἕλικα γράψει ἐν τῷ ἐπιπέδῳ.

β΄. καλείσϑω οὖν τὸ μὲν πέρας τᾶς εὐϑείας τὸ μένον περιαγομένας αὐτᾶς ἀρχὰ τὰς ἕλικος. γ΄. & δὲ ϑέσις τᾶς γραμμᾶς, ἀφ᾽ ἃς ἄρξατο & εὐθεῖα περιφερέσϑαι, ἀρχὰ τὰς περιφορᾶς.

δ΄. εὐθεῖα, ἂν μὲν ἐν τῷ πρώτᾳ περιφορᾷ διαπο- ρευϑῇ τὸ σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐϑείας φερόμενον, πρώτα καλείσϑω, ἃν δ᾽ ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ τὸ αὐτὸ σαμεῖον διανύσῃ, δευτέρα, καὶ αἵ ἄλλαι ὁμοίως ταύ- ταις ὁμωνύμως ταῖς περιφοραῖς καλείσϑωσαν.

ε΄. τὸ δὲ χωρίον τὸ περιλαφϑὲν ὑπό τε τᾶς ἕλι- κος τᾶς ἐν τᾷ πρῶώτᾳ περιφορᾷ γραφείδας καὶ τᾶς εὐθείας, & ἐστιν πρώτα, πρῶτον καλείσϑω, τὸ δὲ περιλαφϑὲν ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περι- φορᾷ γραφείδσας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας δεύτε- ρον καλείσϑω, καὶ τὰ ἄλλα ἑξῆς οὕτω καλείσϑω. ς΄, καὶ εἴ κα ἀπὸ τοῦ σαμείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἀχϑῇ τις εὐθεῖα γραμμά, τᾶς εὐθείας ταύτας τὰ ἐπὶ τὰ αὐτά, ἐφ᾽ & κα ἃ περιφορὰ γενήται, προ- αγούμενα καλείσϑω, τὰ δὲ ἐπὶ ϑάτερα ἑπόμενα.

ξ΄. ὅ τε γφαφεὶς κύκλος κέντρῳ μὲν τῷ σαμείῳ, 0 ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, διαστήματι δὲ τᾷ εὐθείᾳ, & ἐστιν πρώτα, πρῶτος καλείσϑω, ὁ δὲ γραφεὶς κέντρῳ

8. εαὐτο F; corr. BC.* 11. τὸ κατὰ] vo om. F. Nu- meros ipse addidi. 28. τὰ ἐπί) scripsi; τά om. F, uulgo. ἐφ᾽ ἃ καὶ a&ddidi; om. Εἰ, uulgo. προαγούμενα] h. e. προ-

ηγούμενα, scripsi; προαγομενα F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 53

locum restituitur, unde moueri coepta est, et dum limea circumagitur, punctum aliquod sibi ipsum ae- quabiliter in linea fertur ἃ manente termino inci- piens, punctum in plano lineam spiralem describet.!)

II. Terminus igitur lineae, qui, dum ipsa circum- agitur, manet, principium spiralis uocetur.

III. Positio autem lineae, unde circumagi coepta esi, principium circumactionis.

IV. Ea linea, quam in prima circeumactione punctum permeauerit, quod in linea fertur, prima uocetur; quam in secunda cireumactione idem punctum permeauerit, secunda, et ceterae eodem modo circumactionum cognomines sint.

V. Spatium autem spirali in prima cireumactione descripta ei linea, quae est prima, comprehensum primum uocetur; quod spirali in secunda circum- actione descripta et linea seeunda comprehenditur, se- eundum uocetur, ei cetera quoque deinceps eodem modo nominentur.

VI. Eti si ἃ puncto, quod principium spiralis est, recta linea ducitur, quae in eadem eius lineae parte sunt, in quam fii circumactio, praecedentia uocen- tur, quae in altera parte sunt, sequentia.

VII. Et circulus, cuius centrum est punctum, quod prineipium spiralis est, radius autem linea, quae esí prima, primus uocetur, circulus autem, cuius

1) Cfr. Pappus I p. 234 (IV, 30), ubi similiter linea spi- ralis definitur.

54 ΠΕΡῚ EAIKSN.

μὲν τῷ αὐτῷ, διαστήματι δὲ τῷ διπλασίᾳ εὐθείᾳ δεύ- τερος καλείσθω, καὶ oí ἄλλοι δὲ ἑξῆς τούτοις τὸν αὐὖ- τὸν τρόπον.

| ιβ΄.

δ — El κα ποτὶ τὰν ἕλικα τὰν ἐν μιᾷ περιφορᾷ ὁποια- οὖν γεγραμμέναν ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος εὐϑείαι ἐμπεσῶντι ὁποσαιοῦν ἴσας ποιούσαι γωνίας ποτ᾽ ἀλλά- λας, τῷ ἴσῳ ὑπερέχοντι ἀλλάλαν.

ἔστω ἕλιξ, dp! ἃς αἱ MB, AT, 44, AE, AZ ἴσας

10 γωνίας ποιούσαι ποτ᾽ ἀλλάλας. δεικτέον, ὅτι τῷ ἴσῳ ὑπερέχει ἃ ΑΓ τᾶς 48, καὶ & 44 vág AT, καὶ αἵ ἄλλαι ὁμοίως.

ἐν à γὰρ χρόνῳ & περιαγομένα γραμμὰ ἀπὸ τᾶς

AB ἐπὶ τὰν 4Γ ἀφικνείται, ἐν τούτῳ τῷ χρόνῳ τὸ 16 σαμεῖον τὸ κατὰ τᾶς εὐϑείας φερόμενον τὰν ὑπεροχὰν διαπορευέται, ᾧἅ ὑπερέχει ἃ

σ΄ 4 E ΓΑ τᾶς 48, ἐν ᾧ δὲ χρόνῳ ἀπὸ τᾶς 4Γ ἐπὶ τὰν 44, ἐν τούτῳ διαπορευέται τὰν ὑπερ- οχάν, & ὑπερέχει ἃ 44 τῶς

AI. ἐν ἴσῳ δὲ χρόνῳ ἁ περι-

αγομένα γραμμὰ ἀπότετᾶς AB

ἐπὶ τὰν AT' ἀφικνείται καὶ ἀπὸ τᾶς 4Γ ἐπὶ τὰν A 4,

ἐπειδὴ αἵ γωνίαι ἴσαι ἐντί. ἐν ἴσῳ ἄρα χρόνῳ τὸ 26 κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον σαμεῖον διαπορευέται τὰν

. ὕπεροχάν, ᾧ ὑπερέχει & ΓΑ͂ τᾶς AB, καὶ τὰν ὑπερ-

20

4“

1. τῷ] addidi; om. F', uulgo. b ελικαν F. τὰν ἐν Scripsi; τας μὲν Εἰ; om. Torellius; τὰν μέν ed. Basil, uulgo. 6. γεγραμμενὰ F; corr. ed. Basil. 8. υπερέχοντι F. 17. τὰς] ταν F; corr. B. 26. ΓΗ͂ P4 F; AT' vulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 55

centrum idem. est, radius autem linea duplo maior, secundus uocetur, et celeri deinceps eodem modo nominentur.

XII.

Si ad spiraslem qualibet circumactione descriptam à principio spiralis lineae quotlibet ducuntur aequales angulos inter se efficientes, aequali spatio inter se ex- cedunt. . sit spiralis, in qua lineae 4B, ALI, 4414, AE, 4Z sint!) aequales angulos inter se efficientes. demon- sirandum, aequali spatio excedi lineam 418 a linea AT, lineam ATI' ἃ linea 471, ceterasque eodem modo.

nam quo tempore linea, quae circumagitur, ab “48 ad AI'peruenit, eo tempore punctum, quod in linea fertur, excessum permeat, quo excedit linea I'4 lineam 4B, et quo tempore ab AT' ad 471 peruenit, eo permeat excessum, quo 4724 linea excedit lineam ΑΓ. sed aequali temporis spatio linea, quae circum- agitur, ab 4B ad AI' e& ab 4Γ ad 447 peruenit, quoniam anguli aequales sunt. eodem igitur temporis spatio punctum, quod in linea fertur, excessum per- meat, quo linea I'4 lineam 4B excedit, et quo linea

1) Fort. soribendum lin. 9: ἐφ᾽ ἧς [τὰ A, B, Γ, 4, E, Z, H. ἔστω δὲ ἀρχὰ τὰς ἕλικος τὸ A4. καὶ ἀπὸ τοῦ A4 ἐμπίπτωντι]) αἱ κτλ.

b

10

15

20

25

56 IIEPI EAIKSNN.

ogdv, ᾧ ὑπερέχει & 44 τᾶς AI. τῷ ἴσῳ ἄρα ὑπερ- ἔχει & τε 4Γ τᾶς AB, καὶ ἁ 44 τᾶς AT, καὶ αἴ λοιπαί.

,

w'. Ei κα εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἐπκιψαύῃ, xc

ὃν μόνον ἐπιψαύσει σαμεῖον. ἔστω ξλιξ, ἐφ’ ἧς τὰ 4, B, D, 4. ἔστω δὲ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ 4 σαμεῖον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς ἃ 414 εὐϑεῖα, καὶ ἐπιψαυέτω τᾶς ἕλικος εὐθεῖά τις & ΖΕ. φαμὶ δὴ καϑ᾽ ἕν μόνον σαμεῖον ἐπιψαύειν αὐτᾶς. ἐπιψαυέτω γάρ, εἰ δυνατόν, κατὰ δύο σαμεῖα τὰ I, H, καὶ ἐπεξεύχϑωσαν αἵ AI, AH, καὶ ἃ γωνία Ζ δίχα τετμάσϑω ἃ περι-

e ἐχομένα ὑπὸ τᾶν AH, E Z AI. xa9' ὃ δὲ σαμεῖον

ἁ δίχα τέμνουσα τὰν γωνίαν τᾷ ἕλικι ποτι- πίπτει, ἔστω τὸ Θ. τῷ δὴ ἴσῳ ὑπερέχει ἅ τε Ἢ τᾶς 40, καὶ & 4Θ τᾶς AT, ἐπειδὴ ἴσας γωνίας περι- ἔχοντι ποτ᾽ ἀλλάλας. ὥστε διπλασίαι ἐντὶ αἴ AH, 4Γ τᾶς .40. ἀλλὰ τᾶς ἐν τῷ τριγώνῳ [τᾶς 40] δίχα τεμνούδας τὰν γωνίαν μειξόνες ἐντὶ ἢ διπλασίαι. δῆλον οὖν, ὅτι, καϑ᾿ ὃ συμπίπτει σαμεῖον và ΓΗ εὐθείᾳ & 46, μεταξὺ τῶν Θ, 4 ἐντι σαμείων. τέμνει ἄρα & ΕΖ τὰν ἕλικα, ἐπειδή τι τῶν ἐν τᾷ ΓΘΗ͂ σα- 12. ἃ] ἡ F; corr. Torellius, ut lin. 18. 18. τετμησϑω F, uulgo. περιεχομδνὴ vxo tov (comp.) Εἰ; corr. Torelhius. 16. την ἘΠ corr. Torellius. 20. της 4€ F; corr. Torellius. περιεχουσ cum comp. ἡ» F; corr. VA. — 22. τᾶς A46 (alterum)]

deleo. 28. uei£o» F; corr. B.* 24. vo σημειον F; τό uncis in- clusit ed, Basil; del. Torellius. 26. ΓῊ D, ed. Basil, Torellius.

Z5

DE LINEIS SPIRALIBUS. 51

444 lineam ΑΓ excedit. quare “Γ᾽ lineam 4B οἱ 44 lineam A4I'aequali spatio excedunt [prop. 1], et ceterae eodem modo.!)

XIII.

Si linea recta spiralem contingit, in uno solo puncto continget.

510 spiralis, in qua sint puncta 4, B, I', 4f. princi- pium autem spiralis si 4 punctum, et principium eireumaclionis linea 44 7f, et linea aliqua EZ spiralem contingat. dico igilur, eam in uno solo puncto con- tingere.

contingat enim, si fieri potest, in duobus punctis I, H, et ducantur lineae A4I', 4H, et in duas paries aequales secetur angulus, qui lineis 4H, 4Γ comprebenditur. et punctum, in quo linea angulum in aequales partes secans in sSpiralem incidit, sit 6. quare aequali spatio .excedit linea 44H lineam 46, οὗ linea 46 lineam ΑΓ, quoniam aequales angulos inter se efficiunt [prop. 12]. quare 4H -]- 41'— 2.40. sed 4H -]- 4I' maiores sunt quam duplo maiores linea in triangulo angulum in aequales partes se- canti.) adparet igitur, punctum, in quo linea 46 in lineam ΓΗ͂ incidat, inter puncta 6, 4 positum esse. quare EZ spiralem secat, quoniam quoddam punctum lmeae ΓΗ͂ intra spiralem est.") at suppositum est,

1) Hanc propositionem citat Pappus I p. 984 (IV, 38).

2) De hac propositione: duo simul latera cuiusuis trian- guli maiora esse quam duplo maiora linea, quae angulum ab

lis comprehensum in duas partes aequales secet, cfr. Zeitschr. f. Math. hist. Abth. XXIV p. 178 nr. 5, Nizze p. 183, Sturm

p. 403. 8) Cfr. Eucl. III, 16 πόρισμα.

58 ΠΕΡῚ EAIKEQN. μείων ἐντός ἐστι τᾶς ÉAuxog. ὑπέκειτο δὲ ἐπιψαύουσα. καϑ' ἕν ἄρα μόνον ἁπτέται ἃ ΕΖ τᾶς ἕλικος. ιδ΄. Εἴ κα ποτὶ τὰν ἕλικα τὰν ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ

5 γεγραμμέναν ποτιπεσῶντι δύο εὐϑείαι ἀπὸ τοῦ σα-

10

15

20

2

c

μείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, xal ἐκβληϑέωντι ποτὶ τὰν τοῦ πρώτου κύκλου περιφέρειαν, τὸν αὐτὸν ἑξοῦντι λόγον αἷ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι ποτ᾽ ἀλλάλας, ὃν el περιφερείαι τοῦ κύκλου al μεταξὺ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος καὶ τῶν περάτων τᾶν ἐκβληϑεισᾶν εὐθειᾶν τῶν ἐπὶ τὰς περιφερείας γινομένων, ἐπὶ τὰ προαγούμενα λαμβανομέναν τῶν περιφερειᾶν ἀπὸ τοῦ πέρατος τᾶς ἕλικος.

ἔστω ἕλιξ & 48ΓΖῈΘ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γε- γραμμένα, ἀρχὰ δὲ τᾶς μὲν ἕλικος ἔστω τὸ 4 σαμεῖον, ἃ δὲ O4 εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς ἔστω, καὶ κύ- κλος ὁ ΘΚΗ͂ ἔστω ὁ πρῶτος. ποτιπιπτόντων δὲ ἀπὸ τοῦ 44 σαμείου ποτὶ τὰν ξλικα αἱ AE, 44, καὶ ἐκ- πιπτόντων ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ἐπὶ τὰ Z, H. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον & AE ποτὶ τὰν 444, ὃν & ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ͂ περιφέρειαν.

περιαγομένας γὰρ τὰς 4 γραμμᾶς δῆλον, ὡς τὸ μὲν Θ σαμεῖον κατὰ vüg τοῦ ΘΚΗ͂ κύκλου περιφε- ρεέας ἐνηνεγμένον ἐστὶν ἰσοταχέως, τὸ δὲ Α κατὰ τᾶς εὐθείας φερόμενον τὰν AO γραμμὰν πορευέται, καὶ τὸ Θ σαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας φε- ρόμενον τὰν ΘΚΖ περιφέρειαν, τὸ δὲ 4 τὰν 4Ε

1. τῆς F; eorr. Torellius. 2. EZ] EH F; corr. B mg. 4. τὴν per comp. Εἰ; corr. Torellius. 9. 0v] ὧν F. 20.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 59

eam contingere. itaque in uno solo puncto linea EZ spiralem tangit.

XIV.

S1 ad spiralem prima& circumactione descriptam duae lineae a puncto, quod principium est spiralis, ducuntur et ad ambitum primi circuli producuntur, lineae ad spiralem ductae eandem inter se rationem habebunt, quam ambitus circuli inter terminum spi- ralis et terminos linearum productarum, qui in am- bitu sunt, positi, si ambitus a iermino spiralis ad praecedentia uersus sumuntur.!)

H sit spiralis 48 ΓΖ ΕΘ prima 2E Z ceircumactione descripta, et prin- cipium spiralis sit punctum 4, et

D linea 9 4 principium circumactio- 4 9 nis sit, et circulus € KH primus

B sil. ab 4 autem puncto ad spi- Y ralem ducantur lineae 4E, 44

οὗ producantur ad ambitum cir-

culi ad Z, H. demonstrandum, esse

AE:44-—0KZ:0KH.

nam $i circeumagitur linea 449, adparet, punctum 6 in ambitu circuli 9 K H aequabiliter ferri, 4 autem punctum, dum in linea feratur, lineam 4469 permeare, δὲ punctum 6, dum in ambitu circuli feratur, arcum 6 K Z permeare, 4 auiem lineam 44 E?), et rursus punctum

1) Cfr. Pappus I p. 284 (IV, 32). 2) 8c. eodem temporis spatio.

ὅχωντι F; corr. Torellius. — 24. της Εἰ; corr. Torelliu , ut lin. 25, 21. 26. xogevéroi] scripsi; πεπορϑυξται F, uulgo.

ex

10

15

60 ΠΕΡῚ EAIK9N.

εὐθεῖαν, xal πάλιν τό τε 4 σαμεῖον τὰν 44 γραμ- μάν, καὶ τὸ Θ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν, ἑκάτερον ἰσο- ταχέως αὐτὸ ἑαυτῷ φερόμενον. δῆλον οὖν, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον & AE ποτὶ τὰν 44, ὃν & ΘΚΖ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΗ͂ περιφέρειαν. δεδείκται γὰρ τοῦτο ἐπάνω ἐν τοῖς προτέροις. ὁμοίως δὲ δειχ- ϑησέται, καὶ εἴ κα ἃ ἑτέρα τᾶν ποτιπιπτουσᾶν ἐπὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ποτιπίπτῃ, ὅτι τὸ αὐτὸ συμβαίνει.

,

ε΄.

Εἰ δέ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γε- γραμμέναν ἕλικα ποτιπίπτωντι εὐϑείαι ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος, τὸν αὐτὸν ξξοῦντι λόγον αἵ εὐϑείαι ποτ᾽ ἀλλάλας, ὃν αἵ εἰρημέναι περιφερείαι μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας λαμβανομένας.

ἔστω ἕλιξ, dp! dg & 4ΒΓ4Θ, ἁ μὲν 4Β8ΓΖ40Θ ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, & δὲ O AEM ἐν τᾷ δευτέρα. καὶ ποτιπιπτόντων εὐθϑείαι αἱ AE, 4.4. δεικτέον, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον & 4.4 ποτὶ τὰν AE, ὃν & ΘΚΖ περιφέρεια us9' ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου

20 περιφερείας ποτὲ ΘΚΗ͂ μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλον

περιφερείας.

ἐν ὅσῳ γὰρ χρόνῳ τὸ 4 σαμεῖον κατὰ τᾶς εὐϑείας φερόμενον τὰν 4.4 γραμμὰν διαπορευέται, καὶ τὸ Θ δαμεῖον κατὰ τᾶς τοῦ κύχλου περιφερείας φερόμενον

95 ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΖ

περιφέρειαν διαπορευέται, καὶ πάλιν τὸ 4, σαμεῖον τὰν AE εὐϑεῖαν., καὶ τὸ Θ ὅλαν τε τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν καὶ ἔτι τὰν ΘΚΗ͂, ἑκάτερον ἰσοταχέως

4. ἐχωντι EF. 6. ἐπάνω] scripsi; s&e F, uulgo. προ- τέροις} scripsi; πρώτοις F, uulgo. 8. ὅτι] addidi; om. F,

DE LINEIS SPIRALIBUS. 61

4 lneam 441 et 0 arcum 6 KH, utrumque aequa- biliter sibi ipsum. adparet igitur, esse

AE: 42 -0KZ:0KH. hoc enim supra in prioribus demonstratum est [prop. 2]. et eodem modo demonstrabimus, etiam si altera linea- rum ad spiralem duetarum in terminum spiralis inci- derit, idem futurum esse.

XV.

Sin ad spiralem secunda circumactione descriptam a principio spiralis lineae ducuntur, eandem rationem inter se habebunt, quam arcus, quos commemorauimus [prop. 14], adsumpto toto circuli ambitu.

sib spiralis, in qua sit linea ABIfO, iia ut ABI40 prima, €94EM secunda circumaetione de- scripla sit. et ducantur ad spiralem lineae 4E, 4 4. demonstrandum, habere lineam 4.4 ad lineam AE eandem ralionem, quam arcus € KZ adsumpto toto eireuli ambitu ad 9 K H adsumpto toto circuli ambitu.

nam quo tempore!) punctum 44, quod in linea fer- tur lineam 44.4 permeat, etiam punctum 6, quod in ambitu cireuli fertur, et totum circuli ambitum et praeterea arcum 6 KZ permeai, et rursus [quo tem- pore] punctum 44 lineam A4 E permeat, etiam punctum 6 totum ambitum circuli et praeterea arcum. 9 K H,

1) Ut foeda uitetur anacoluthia (lin. 26 8q.), fortasse prae- stat lin. 22: ἐν ἴσῳ γάρ.

uulgo, "14. ἅπαξ λαμβανομένας 16. ABI'40 EAM To- rellius, 17. ποτιπιπτωντι Ἐς; corr. B. 18. ἐχωντι F; corr. Torellius. 20. ποτί] προς per comp. T; corr. Torellus. 23. καὶ τὸ 8] κατα το E F; corr. Torellius.

62 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

αὐτὸ αὑτῷ φερόμενον. δῆλον ovv, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον & 4.4 γραμμὰ ποτὶ τὰν AE, 0v & ΘΚΖ περιφέρεια μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΚΗ περιφέρειαν μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου ὅ περιφερείας. τὸν αὐτὸν δὲ τρόπον δειχϑησέται, καὶ εἴ κα ποτὶ τὰν ἐν τᾷ τρέτα περιφορᾷ γεγραμμέναν ἕλικα ποτι- πεσῶντι εὐϑείαι, ὅτι τὸν αὐτὸν λόγον ἑξοῦντι ποτ᾽ ἀλλάλας, ὃν αἵ εἰρημέναι περιφερείαι μεϑ’ ὅλας τᾶς 10 τοῦ χύχλου περιφερείας δὶς λαμβανομένας. ὁμοίως ὃὲ xal αἱ ποτὶ τὰς ἄλλας ἑλίκας ποτιπιπτούσαι δεικ- νύνται, ὅτι τὸν αὐτὸν ἔχοντι λόγον, ὃν ol εἰρημέναι περιφερείαι μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύχλου περιφερείας τοσαυτάκις λαμβανομένας., ὅσος ἐστὶν ὁ ἑνὶ ἐλάσσων 16 ἀριϑμὸς τᾶν περιφορᾶν, καὶ εἴ κα ἃ ποτιπίπτουσα ἃ ἑκατέρα ποτὶ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος πίπτῃ.

ες΄.

Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν và πρώτᾳ περιφορᾷ γε- γραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ, καὶ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς

20 εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιξευχϑῇ ἐπὶ τὸ σαμεῖον, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃς ποιεῖ γωνίας ἃ ἐφαπτομένα ποτὶ τὰν ἐπιξευχϑεῖσαν, ἀνίσοι ἐσσούνται, καὶ ἃ μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις ἀμβλεῖα, & δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ὀξεῖα. ἔστω ἕλιξ, ἐφ᾽ ἧς τὰ 4, B, T, 4, 0, ἐν τᾷ πρώτᾳ

26 περιφορᾷ γεγραμμένα. καὶ ἔστω τὸ μὲν Α' σαμεῖον

2. εχωντι F; corr. Torellius. γραμμὰν F. — 8. ὅτι] om. F; corr. Nizzius. 12. εγωντι EF; corr. Torellius. , ἃ εὑρη- pevo περιφεδρεια F; corr. Torellius. 14. τοσαυτας ἘΠ; corr. Torellius, £éy(], ἕν F; corr. B; om. ed. Basil.; ,'uno mino- rem* Cr. 18. τη πρωτὴ F; corr. Torellius. 22. ἐσουνται F, uulgo. 28. προαγομένοις F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 63

utrumque sibi ipsum aequabiliter, permeat. adparet igi- lur, eandem habere rationem 444: 4E, quam arcus 9KZ cum toto ambitu circuli ad arcum 6 K H cum toto ambitu circuli [prop. 2].

οὗ eodem modo de- monsirabimus, eliam si ad spiralem tertia cir- cumuolutione descriptam lineae ducantur, eas ean- dem inter se rationem habituras esse, quam ar- eus, quos significauimus, cum toto ambitu circuli bis sumpio. et eodem modo etiam lineae ad ceteras spi- rales ductae eandem rationem habere demonstrabun- iur, quam arcus, quos significauimus, cum toto ambitu eirculi toties sumpto, quoties indicat numerus uno minor [numero] circumactionum, etiam si altera linea- rum ductarum in terminum spiralis incidat.

XVI.

Si spiralem prima circumactione descriptam linea recta contingit, ei a puncto tactionis ad punctum, quod principium spiralis est, linea recta ducitur, an- guli, quos linea contingens cum linea ad eam ducta efficit, inaequales erunt, et angulus, qui in prae- cedentibus est, obtusus erii, angulus autem, qui in sequentibus est, acutus.

sit spiralis, in qua sint puncta 44, B, I, 71, 9, prima eircumactione descripta. et sit punctum 24 principium

64 ΠΕΡῚ EAIKQNN.

ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃ δὲ 46 εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, 0 τε πρῶτος κύκλος ὁ ΘΚΗ͂. ἐπιψαυέτω δέ τις εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἃ Ε4Ζ κατὰ τὸ 4, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 ἐπὶ τὸ 4 ἐπεξεύχϑω ἁ 4.4. δεικτέον, ὅτι ἃ 4Z

5 ποτὶ τὰν 44 ἀμβλεῖαν ποιεῖ γωνίαν.

γεγράφϑω κύκλος ὁ 4 TN κέντρῳ μὲν τῷ A, διαστήματι ὃὲ τῷ 4 4. ἀναγκαῖον δὴ τούτου τοῦ κύκλου τὰν μὲν ἐν τοῖς προ- αγουμένοις περι- φέρειαν ἐντὸς πίπτειν τᾶς ἕλικος, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐχτὸς διὰ τὸ τᾶν ἀπὸ τοῦ 4 ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτουσᾶν εὐθειᾶν τὰς μὲν ἐν

80 μειξόνας εἶμεν τᾶς 44, τὰς δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις

25

ἑἐλασσόνας. ὅτι μὲν οὖν ἃ γωνία ἃ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν 44, AZ οὔκ ἐστιν ὀξεῖα, δῆλον, ἐπειδὴ μείξων ἐστὶ τᾶς τοῦ ἡμικυκλίου. ὅτι δὲ ὀρϑὰ οὔκ ἐστι, δεικ- τέον οὕτως" ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ὀρϑά. ἃ ἄρα EAZ ἐπιψαύει τοῦ ΦΤΝ κύκλου. δυνατὸν δή ἐστιν ἀπὸ τοῦ 4 ποτιβαλεῖν εὐϑεῖαν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλον περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ, ὃν ἔχει ἃ μεταξὺ

2. πρῶτος oc F. 3. 4EZ F, uulgo. 7. τῷ] τᾷ To-

. rellius. 10. τάν] τα F; corr. BC.* mooayopevoig F,

τοῖς προαγουμένοις᾽

DE LINEIS SPIRALIBUS. 65

spiralis, linea autem 446 principium circumactionis, ei primus cireudlus ΘΚ H. contingat autem linea recta E42 spiralem in puncto 2f, et à puncto z/ ad 4 ducatur linea 21.4. demonstrandum, lineam 27/Z cum linea 44 obtusum angulum efficere.

describatur circulus Z/ TN, cuius centrum sit 4, radius autem 4.2. itaque necesse est, huius circuli ambitum, qui in praecedentibus est, inira spiralem cadere, qui in sequentibus est, extra, quia linearum ab 4 ad spiralem ductarum quae in praecedentibus sunt, maiores sunt linea 7471, quae in sequentibus sunt, minores. angulum igitur lineis 471, 412 com- prehensum acutum non esse, adparet, cum maior sit angulo semicirculi.!) rectum uero eum non esse, it& demonstrandum est: sit enim, si fieri potest, rectus, itaque linea EZ/Z circulum ΖΦ ΤΙΝ contingit [Eucl. III, 16 πόρισμα]. fieri igitur potest, ut ab ^4 linea ad lineam contingentem ducatur, ita ut linea inter contingentem et ambitum circuli posita ad radium cireuli minorem rationem habeat, quam habet arcus inter punctum taetionis et lineam ad contingentem

1) H. e. angulo inter lineam 444 et arcum 4 PT com- prehenso, qui maior est quolibet acuto angulo rectilineo (Eucl. IIT, 16); quare cum hic angulus pars sit anguli 4.42, adparet, hunc acutum certe non esse (Euel. I xoi. m 9).

€ À— M]

uulgo. 18. ευχϑειαν F. 22. των 44Ζ F, uulgo. 48. ορϑη F; corr. Torellius. 24. οὕτως} per compendium paulo insolentius scriptum F; ὄν B, ed. Basil, Torellius. ^ og7. 7 F; corr. Torellius. 86. ἀπό] & F.

Archimedes, ed. Heiberg. II. b

5

66 ΠΕΡῚ EAIKON,

τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς ποτιπιπτούσας περιφέφεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν. ποτιπιπτέτω δὴ & Al. τεμεῖ δὴ αὐτὰ τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ 4, τὰν δὲ vov ANT περιφέρειαν κύκλου κατὰ τὸ P. καὶ ἐχέτω à PI εὐ- ϑεῖα ποτὶ τὰν AP. ἐλάσσονα λόγον τοῦ, ὃν ἔχει ἁ ΔΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν ΔΙ N T περιφέρειαν. καὶ ὅλα ἄρα

&IA ποτὶ τὰν AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει, 3 & PANT

10

1ὅ

20

2b

περιφέρεια ποτὶ τὰν 4 NT περιφέρειαν, τουτέστιν Ov ἔχει & ZHKO περιφέρεια ποτὶ τὰν Η ΚΘ περιφέρειαν. ὃν δὲ à ΣΗΚΘ περιφέρεια ποτὶ τὰν Η ΚΘ περι- φέρειαν, τοῦτον ἔχει & 4.4 εὐϑεῖα ποτὶ τὰν 4.2. δε- δείκται γὰρ τοῦτος ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἃ AI ποτὶ τὰν AP, ἥπερ & 4.4 ποτὶ τὰν 4.4 ὅπερ ἀδύ- γατον. ἴσα γὰρ & PA τᾷ 44. οὐκ ἄρα ἐστὶν ὀρϑὰ ἃ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν 44, 472. δεδείκται δέ, ὅτι οὐδὲ ὀξεῖα. ἀμβλεῖα ἄρα ἐστίν. ὥστε & λοιπὰ ὀξεῖά ἐστιν. ὁμοίως δὲ δειχϑησέται, καὶ εἴ κα & ἐπιψαύ- ουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύῃ, ὅτι τὸ αὐτὸ συμβησέται.

εζ΄.

Καὶ τοίνυν εἴ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ ἃ εὐθεῖα, τὸ αὐτὸ συμ- βησέται.

ἐπιψαυέτω γὰρ ἃ ΕΖ εὐϑεῖα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ Zl, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσϑω. ὁμοίως δὴ τᾶς τοῦ PN 4 περιφερείας κύκλου τὰ μὲν ἐν τοῖς προαγου-

1. περιφέρεια] scripsi; περιφερείας F, uulgo. 6. dTN Torellius. 9. HKG]| H supra scriptum manu 2 F. 14.

A4] 44, μείζων δὲ ἃ IA xag 44 Commandinus, Torellius, Nizzius. ορϑη F; corr. Torellius, ut p. 68 lin. 8, 4. 15.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 61

ductam positus ad datum arcum [prop. 5] ducatur igitur ad lineam contingentem linea 41. ea igitur spiralem in puncto 4, ambitum autem circuli Zf N T'!) in puncio P secabit. et sit PI : 4P «— 4P: ANT. quare eliam 14: AP « PANT : ANT?), h. e. —- EZHK0:HKO0O.*) sed ZHKO0: HK0 — A4:4 4. hoc enim demonstratum est [prop. 14]. itaque 41: AP « 434: 42,

quod fieri non polest. nam PA — 4324 [et I4 — 44] [Eucl. V, 8]. itaque angulus lineis 471, 412 compre- hensus rectus non est. et demonstratum est, ne acu- ium quidem eum esse. itaque obtusus est. quare reliquus angulus acutus est. et eodem modo demon- strabitur, etiam si linea spiralem contingens in ier- mino contingat, idem futurum esse.

XVII.

Iam etiam si spiralem secunda circumactione de- scriptam limea contingit, idem futurum esi.

contingat enim linea EZ spiralem secunda cireum- aclione descripiam in puncto 4f, et celera eodem modo, quo supra [prop. 16], comparentur. itaque, ut supra, ea pars ambitus cireuli PN Z, quae in praecedentibus

1) Mirus uerborum ordo lin. 8—4 defenditur simili loco lin. 27.

m Sc. συνθέντι; Pappus VII, 46 p. 686.

8) Nam PANT:ANT —[ PAT ( 180) : 4AT (7 180?)

— XHKO:HKO (Eucl VI, 83). τῶν per comp. Εἰ; corr. Torellius. 442 F, uulgo. δέ] om. F; corr. AB. 18. ὅτι] addidi; om. F, uulgo. 234. EZ] AZ F. 265. περιφορᾷ] scripsi; περίφορας F, uulgo. 5*

68 ΠΕΡῚ EAIKOSN.

μένοις τὰς ἕλικος ἐντὸς πεσούνται, τὰ δὲ ἐν volg ézo- μένοις ἐκτός. ἁ οὖν γωνία à ὑπὸ τᾶν 44, 4Z οὔκ ἐστιν ὀρϑά, ἀλλὰ ἀμβλεῖα. ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, óp8d. ἐπιψαύσει δὴ ἃ EZ τοῦ PN 4 κύκλου κατὰ τὸ Δ. ἄχϑω δὴ πά- λιν ποτὶ τὰν ém:- ψαύουσαν ἁ AI, καὶ τεμνέτω τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ X, τὰν δὲ τοῦ PNAÀ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ῥ ἐχέτω δὲ «& PI ποτὶ PA ἐλάσσονα λόγον vov, ὃν ἔχει & 4} περι- A φέρεια ποτὶ ὅλαν τὰν τοῦ ΔΡΝ κύκλου περιφέρειαν καὶ [ποτὶ] τὰν

ANT. δεδείκται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν. καὶ ὅλα

ἄρα ἃ I4 ποτὶ τὰν AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἢ & 20 PAN T περιφέρεια μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περι- φεφρείας ποτὶ τὰν ΔΩ ΝΤ περιφέρειαν μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας. ἀλλ᾽ ὃν ἔχει λόγον & PANT περιφέρεια ue9' ὅλας τᾶς τοῦ Ω͂ΝΤΡ κχύχλου περι- φερείας ποτὶ τὰν ΖΙΝΤ' περιφέρειαν μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ ZNTP κύκλου περιφερείας, τοῦτον ἔχει τὸν 1λ6- γον ἃ ΣΗΚΘ περιφέρεια μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τᾶς ΘΣΗΚ ποτὶ τὰν Η ΚΘ περιφέρειαν μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ O.ZHEK κύκλου περιφερείας. ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἵ ὕστερον εἰρημέναι περιφερείαι,

οι

2

2. 442 F, uulgo. 6. τάν] τα F. 18. ποτέ] προς per comp. F; corr. Torellius. 17. ποτί] deleo: In figura pro

DE LINEIS SPIRALIBUS. 69

esi, inira spiralem cadet, quae in sequentibus est, extra. angulus igitur lineis 421, 412 comprehensus rectus non est, sed obiusus. sit enim, si fieri potest, rectus. continget igitur linea EZ cireulum P.N Z in puncto 4| [Eucl III, 16 πόρισμα]. rursus igitur ad lineam contingentem: ducatur linea 4I, et spiralem in puncto X, ambitum autem cireuli PNZ/ in puncto P secet. et sit PI: PA — AP: APN!) H- ANT. nam demon- Siralum est, hoc fieri posse [prop. 5]. quare erit [p. 67 not. 2] 14: AP PANT - APN: ANT -]- A4PN. est autem PANT -- ANTP)): ANT 4- ANTP

— XHKO9--02HK?:HK0--092ZHK-—XA4:44.

1) Significaui hoc modo &mbitum totum circili 4PN, ut rursus h. pag. lin. 10 bis.

2) Per 4N TP hoc loco idem significatur, quod supra per ΡΝ (u. not. 1).

8) H. e. totus ambitus circuli 69 Z HK. proportio gutem hoc modo sequitur: εὐ PANT τὰ P,, ANTP—OC, AN D P, ZHKO:z27p, ΘΣΗΚ- c, ΗΚ ME erit igitur P.

- C : c (Eucl. V1, 88 πόρ.; Poiinrhr f Math, bist. Abth. ixiv 5, 181 pa 14) quare PD, LT C AT jen A PipeO:icet P--Cip--c or aed P: [p. ὅτ᾽ aot δ) ilaque P, -- C: 5» bon P4 C 25 4- c, ὦ

elàd£ P,--C:P-EO—p dc: Pw e. d.

8 in F est O. 26. περιφέρειαν F. 29. ἐχουσιν Εἰ; corr. Torellius. |

10 ΠΈΡΙ EAIK9N.

τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἃ XA εὐϑεῖα ποτὶ τὰν 44 εὐθεῖαν. δεδείκται γὰρ τοῦτο. ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ I4 ποτὶ τὰν AP, ἢ & 4X ποτὶ τὰν 414 ὅπερ ἀδύνατον. ἴσα μὲν γὰρ ἃ ΡΑ͂ τᾷ 44, μείζων δὲ à

614 τᾶς AX. δῆλον οὖν, ὅτι ἀμβλεῖά ἐστιν & περι-

10

1ὅ

20

ἐχομένα ὑπὸ τᾶν 44, 4Z. ὥστε & λοιπὰ ὀξεῖα ἐστι. τὰ δ᾽ αὐτὰ συμβησέται, καὶ εἴ κα ἃ ἐπιψαύουδσα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ἐπιψαύῃ.

IIOPIZMA,

Ὁμοίως δὲ δειχϑησέται. καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιαοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα, καὶ εἴ κα κατὰ τὸ πέρας αὐτᾶς, ὅτι ἀνίσους ποιήσει [τὰς] γωνίας ποτὶ τὰν ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπιξευχϑεῖσαν ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις ἀμβλεῖαν, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ὀξεῖαν.

ιη΄.

Εἰ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γε- γραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τοῦ σαμείου, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς EAuxog, ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀχϑῇ τις τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς, & ἀχϑεῖσα συμπεσείται τᾷ ἐπιψαυούσαᾳ, καὶ ἃ μεταξὺ εὐθεῖα τᾶς ἐπιψανούσας καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐσσείται τᾷ τοῦ πρώτου κύκλου περιφερείᾳ. —'

ἔστω EAE ἃ ABI'40, ἔστω δὲ τὸ A4 σαμεῖον ἀρχὰ

8. ἃ] (alt. om. F; corr. Torellius. 4. "n F,; corr. Torellius.

i] (bis) ἡ F; corr. Torellius, ut lin. 5, *&] τη F; corr.

orellius. b. τὰς] της F; "corr. Torellius. περιεχομένη E;

corr. Torellius. 6e. A4Z T, uulgo. λοιπὴ F; corr. Torel-

lius. 11. περιφορᾷ] &ddidi; om. F, uulgo; ,,quacunque re-

uolutione'" Cr. 19. τάς] deleo. 21. συνπεσειται F. «] om. F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 11

hoc enim demonsiratum est [prop. 15]. quare erit I4: 4P« 4X:.44; quod feri non potest. [nam ΡΑ-τα 44, οἱ 147 4X]! adparet igitur, angu- lum lineis 44271, 4722 comprehensum obtusum esse) quare reliquus angulus acutus est. eadem autem eue- nient, eliam ΑἹ linea contingens in termino spiralis contigerit. COROLLARIUM.

Eodem autem modo demonstrabimus, etiam si spi- ralem qualibet cireumactione descriptam linea aliqua contingat, etiam si in termino eius, inaequales eam angulos effecturam esse cum linea a puncto taclionis ad primcipium spiralis ducta, et angulum in prae-

| eedentibus positum obtusum fore, qui in sequentibus | positus sit, acutum.)

XVIII.

Si spiralem prima circumactione descriptam linea recta contigerit in termino spiralis, et à puncto, quod principium est spiralis, linea ad principium circum- actionis perpendicularis ducta erit, linea [ita] ducta in contingentem incurret, et linea inter contingentem et principium spiralis posita aequalis erit ambitui circuli || primi. | sib spiralis 4BI'46, et punctum 4 principium

1) Putauerim, uerba ἴσα μέν lin. 4— τὰς 4X lin. 5 sub- diliua esse, cum quia formae uulgares in cod, F hoc loco con- stanter traditae eunt, tum quod Archimedes, si e&usam plene adferre uoluisset, hoc sine dubio non hoc loco, sed supra p. 66, 14, ubi leuis tantum significatio additur, fecisset.

2) Nam ne acutus quidem est; u. p. 65 not. 1. 8) Cfr. prop. 15 corollarium.

12 ΠΕΡῚ EAIK9N.

τᾶς ἕλικος, & δὲ ΘΑ͂ γραμμὰ ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, ὃ δὲ ΘΗ K κύκλος ὁ πρῶτος. ἐπιψαυέτω δέ τις τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ O0, & ΘΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ 4 ἄχϑω ποτ᾽ ὀρθὰς và 0 4 ἁ AZ. συμπεσείται δὴ αὐτὰ ποτὶ τὰν 5 OZ, ἐπεὶ αἱ ZO, 6.4 ὀξεῖαν γωνίαν περιέχοντι. συμ- πιπτέτω κατὰ τὸ Z. δεικτέον, ὅτι & Z4 ἴσα ἐστὶ τᾷ τοῦ ΘΚΗ κύκλου περιφερείᾳ. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείξων ἐστὴν ἢ ἐλάσσων. ἔστω πρότερον, εἰ δυνατόν, μείξων. ἔλαβον δή τινα εὐθεῖαν 10 τὰν 44 τᾶς μὲν ΖΑ εὐϑείας ἐλάσσονα, τᾶς δὲ τοῦ

ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείξονα. ἔστιν δὴ κύκλος τις ὁ ΘΗΚ, καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου & ΘΗ, καὶ λόγος, ὃν ἔχει ἃ ΘΑ͂ ποτὶ 44, μείξων τοῦ, ὃν ἔχει & ἡμίσεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ 15 τοῦ 44 κάϑετον ἐπ᾽’ αὐτὰν ἀγμέναν, διότι καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἃ ΘΑ͂ ποτὶ 4Ζ. δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν ποτὶ τὰν ἐχβεβλημέναν τὰν ΑΝ, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς περιφερείας καὶ τᾶς ἐχβεβλημένας τὰν ΝΡ ποτὶ ΘΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν & ΘΑ͂ ποτὶ τὰν — 90 41.4. ἕξει οὖν & NP ποτὶ τὰν PA λόγον, ὃν ἃ ΘΡ εὐθεῖα ποτὶ τὰν 44. ἁ δὲ OP ποτὶ τὰν 44 ἐλάσ- σονα λόγον ἔχει, ἢ & GP περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ

8. ποτ᾽] προς per comp. PF; corr. V. b. περιέχουσιν Ἐς;

DE LINEIS SPIRALIBUS. T9

sSpiralis sit, linea autem 6.4 principium cireumactionis, eireulus autem € HK primus. contingat autem [linea] aliquà ΘΖ spiralem in puncto Θ, οὐ ἃ puncto 4 ad lineam 6.4 perpendicularis ducatur linea AZ. ea igi- iur in lineam ΘΖ incurret, quoniam lineae ΖΘ, ΘΑ͂ aculum angulum comprehendunt [prop. 16; tum ἃ. Eucl. I «ir. 5]. incidat in eam in puncto Z. demon- sirandum, lineam Z.4 aequalem esse ambitui circuli e KH.

nam si aequalis non est, aut maior esi aut minor. sib prius, si fieri potest, maior. sumpsi igitur lineam aliquam 444 minorem linea Ζ.4, maiorem autem amb- itu circuli 9H K [prop. 4]. itaque datus est circulus quidam 6 H K, et in cireulo linea 8H minor diametro), οὐ ratio 9 4: 4.4 maior ea, quam habet dimidia linea ΗΘ ad lineam ἃ puncto 4 ad eam perpendicularem ductam, quia ea quoque minor est, quam habet

6.4: AZ) |

fieri igitur potest, ut ab 4 ad lineam productam 4N linea ducatur, ita ub sit. NP : 9P « 6.4 : 4 4 [prop. 1]. ert igitur NP: PA — OP: 4.4?) sed linea 9 P ad 4.4 minorem rationem habet, quam arcus 6 P ad amb-

1) Nam ΘΖ, spiralem contingens, extra eam cadet, nec per punctum .4 transire potest; tum ἃ. Eucl. III, 7.

4) Nam 44 — ZA (tum ἃ. Eucl. V, 8. ἘΠῚ si ducitur li- nea ab 4 ad H6 perpendicularis, eam in duas partes aequales secabit (Eucl. lII, 8), et efficietur triangulus similis triangulo A0Z (Eucl. VI, 8) ; tum ἃ. Eucl. VI, 4.

3) Nam ἐναλλάξ: NP:604A — 0P: 44, et 84 — PA.

c — ».ὦ.»Ψ

corr, Torellius. 18. ποτί] προς per comp. Εἰ; corr. V (ἢ Torellius p. 286 e), ut lin. 16. 17. τάν] (prius) ταν t«v

Ὁ. F: corr. D. 19. ποτὶ τὰν ΘΡ εὐθεῖαν dubitans Nizzius. ᾿

10

15

20

14 ΠΕΡῚ ἘΛΙΚΟΝ.

ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν. ἃ μὲν γὰρ OP εὐϑεῖα ἐλάσσων ἐστὶ τὰἄς ΘΡ περιφερείας, & δὲ 4.4 εὐϑεῖα τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας μείξων. ἐλάσσονα οὖν λόγον ξξει καὶ ἃ ΝΡ ποτὶ P4, ἢ & P περι- φέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗ Κὶ κύκλου περιφέρειαν. καὶ ὅλα οὖν & ΝΑ͂ ποτὶ τὰν AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει,

ἥπερ ἃ OP περιφέρεια us0' ὅλας τᾶς τοῦ xUxÀov -

περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ OHK κύχλου περιφέρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει ἃ GP περιφέρεια μεϑ᾽ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν, τοῦτον ἔχει ἃ X4 ποτὲ τὰν 4Θ. δε- δείκται γὰρ τοῦτο. ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἃ ΝΑ͂ ποτὶ τὰν 4}, ἥπερ ἁ & XA ποτὶ τὰν 40" ὅπερ ἀδύ- νατον. ἃ μὲν γὰρ N.4 μείξων ἐστὶ τᾶς AX, ἁ δὲ AP ἴσα ἐστὶ τᾷ 0 4. οὐκ ἄρα μείξων & Ζ. τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοῦ O HK.

ἔστω δὴ πάλιν, εἰ δυνατόν, ἐλάσσων ἁ Z4 τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφερείας. ἔλαβον δή τινα εὐ- ϑεῖαν πάλιν τὰν 4.4 τᾶς μὲν AZ μείξονα, τᾶς δὲ τοῦ G HK κύκλου περιφερείας ἐλάσσονα, καὶ ἄγω ἀπὸ τοῦ Θ τὰν ΘΜ παράλληλον τᾷ 4Ζ. πάλιν οὖν κύκλος ἐστὶν ὁ G HK, καὶ ἐν αὐτῷ ἐλάσσων γραμμὰ τᾶς δια- μέτρον & ΘΗ, καὶ ἄλλα ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Θ, καὶ Aóyog, ὃν ἔχει ἃ 4 ποτὶ τὰν Α͂ A, ἐλάσσων

1, ΘΗ ΧῚ 6 H F; corr. Torellius. 4. ποτί] προς per comp. F; corr. V(?). 11. τὰν 46] Torellus; vo» (comp.) A0 F, uulgo. . 12. ἄρα] om. ἘΠ; corr. ΑΒ. 17. 19' F; om. uulgo, sed infra pro prop. 19 in "Cr. est prop. 20, et sic dein- ceps. 19. τὴν Ἐς; corr. Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 15

ium cireuli € HK. nam linea 68 P minor est arcu 6P, οὗ linea 4.4 maior ambitu circuli 9H K [ex hy- pothesil. quare etiam linea NP ad ΡΩ͂ minorem ra- tionem habebit, quam arcus 6 P ad ambitum circuli 6HK. itaque eliam tota linea N.4 ad lineam AP minorem ralionem habet, quam arcus GP cum toto ambitu circuli ad ambitum circuli 9H K.') sed quam ralionem habet arcus 6 P cum toto. ambitu circuli 6HK ad ambitum circuli 9H K, eam habet X 4: 40. hoe enim demonstratum est [prop. 15] quare erit NA4:4P« X4:.40; quod fieri non potest. nam NA AX, eb 4P — 04. quare linea Z4 maior non. erii ambitu cireuli 6H K.

rursus, Si fieri polest, linea Z4 minor sit ambitu cireui ΘΗ K. sumpsi igitur rursus lineam quandam 4.4 linea 4Z maiorem, ambitu autem circuli ΘΗ K

minorem [prop. 4], οὗ ἃ puncto 9 lineae 472 parallelam duco lineam 6M. rursus igitur datus est circulus 9 H K, οὗ in eo linea diametro minor 6H [p. 13 not. 1], et alia linea [8.M] circulum in puncto 6 contingens [Euel. IIT, 16 πόρ.], et ratio 40 : 4.14 minor ea, quam

1) Sc. συνθέντι; τι. p. 67 not. 2.

16 ΠΕΡῚ EAIKQN.

τοῦ, Ov ἔχει ἃ ἡμίδεια τᾶς ΗΘ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ 4 κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέναν, ἐπειδὴ καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἃ 0.4 ποτὲ AZ, ἐλάσσων ἐστί. δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ .4 ἀγαγεῖν τὰν 4Π’ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν ΡΝ τὰν μεταξὺ vüg ἐν τῷ κύκλῳ εὐϑείας καὶ τᾶς περιφερείας ποτὶ τὰν ΘΠ ἀπκολαφϑεῖσαν ἀπὸ τᾶς ἐπιψαυούσας τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον, ὃν ἔχει ἃ 6.4 ποτὶ τὰν 44. τεμεῖ δὴ ἃ 4Π τὸν μὲν κύχλον κατὰ τὸ P, τὰν δὲ ἕλικα κατὰ τὸ X. καὶ ἔξει καὶ 10 ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν λόγον & NP ποτὶ PA, ὃν & ΘΠ ποτὶ 4.4. & δὲ ΘΙ ποτὶ τὰν 4.4 μείζονα λόγον ἔχει, ἢ ἃ GP περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗ Κὶ κύκλου περι- φέρειαν. ἃ μὲν γὰρ ΘΠ εὐϑεῖα μείξων ἐστὶ vag ΘΡ περιφερείας, ἃ δὲ 4.4 ἐλάσσων τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύκλου 15 περιφερείαξ. μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἃ NP ποτὶ τὰν AP, ἢ & ΘΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρειαν. ὥστε xal & PA ποτὶ τὰν AN μείξονα λόγον ἔχει, ἢ ἃ τοῦ ΘΗΚ κύκλου περιφέρεια ποτὶ τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν. ὃν δὲ λόγον ἔχει & τοῦ HK 20 κύχλου περιφέρεια ποτὲ τὰν ΘΚΡ περιφέρειαν, τοῦ- τον ἔχει ἃ ΘΑ͂ εὐϑεῖα ποτὶ τὰν AX. δεδείκται γὰρ τοῦτο. μείξονα ἄρα λόγον ἔχει ἃ P4 ποτὶ τὰν AN, 4 & 0. ποτὶ τὰν 4X: ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείξων ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ἃ Z4 τᾶς τοῦ ΘΗΚ κύ- 26 xAov περιφερείας" ἴσα ἄρα.

δι

8. ποτέ] προς P comp. F; core v0) ut lin. 10, 11 (prius). 15 ΘΉΗΧ, eNK corr manus 2 25. (en F; corr. To- rellius

DE LINEIS SPIRALIBUS. T1

habet dimidia linea H6 ad lineam ἃ puncto 4 ad eam perpendicularem ductam, quoniam minor est ea, quam habet ΘΑ͂: A4Z [p. 13 not. 2]. fieri igitur pot- est, ub ab 44 ducatur linea 41I ad lineam contingen- lem, ita αὖ 8: PN:61I1 2 044: 44 [prop. 8]. ita- que linea 41I circulum in puncto P secabit, spiralem autem in puncto X. et etiam uicissim erit [Eucl. V, 16] NP:P4?) — ΘΠ: 44A. linea autem ΘΙ ad 44 maiorem rationem habet, quam arcus 9 P ad ambitum cireuli HK; nam linea ΘΙΠ maior est arcu 6 P*), el 444 minor ambitu circuii 9HK [ex hypothesi]. itaque maiorem rationem habet NP: A4P, quam arcus 6 P ad ambitum circuli 9H K. quare etiam PA4:N A maiorem rationem habet, quam ambitus circuli ΘΗ Καὶ ad arcum &.K P5) sed quam rationem habet ambitus cireuli € HK ad arcum KP, eam habet 0 4 : 4X, hoc enim demonstratum est [prop. 14]. erit igitur PA: 4N 7» 04: AX; quod fieri non potest.*)) itaque linea Z.4 neque maior est neque minor ambitu cir- eui €H K. ilaque aequalis est.

1) Nam P A --ὦ 6 4. |. 9$) Si ducitur HII, erit HII - ΠΘ maior arcu H6 (de sph. et cyl. I λαμβ ? p.35 sed HII -|- I16 — 261I (Zeitschr. f. Math., hist. jo ]V p. 181 nr. 15), et arcus

ΗΘ —920P»: ΘΠ.» 8P.

8) Nàm ἀνάπαλιν est 4P: ΝΡ .« 0G HK : GP (Pappus VII, 49 P 688), δ ἀναστρέψαντι AP: ΜΝ» ΘῊΚ: OKP (Pappus VII, 48 p. 686).

4) PA 25 ΘΑ, et AN 7 AX; tum u. Eucl. V, 8.

18 IIEPI EAIKSNN.

(:9.

Ei δέ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύῃ εὐϑεῖα, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχϑῇ vig ποτ᾽ ὀρθὰς τᾷ ἀρχᾷ τᾶς

5 περιφορᾶς, συμπεσείται αὐτὰ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, καὶ ἐσσείται ἃ εὐθεῖα & μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τὰς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος διπλασία τᾶς τοῦ δευτέρου κύ- XÁOU περιφερδίας.

ἔστω γὰρ ἃ μὲν ΑΒΓΘ ἕλιξ ἐν τᾷ πρώτα περι-

10 φορᾷ γεγραμμένα, ἃ δὲ ΘΕΤ ἐν τᾷ δευτέρᾳ, καὶ ὃ μὲν ΘΚΗ͂ κύκλος ὁ πρῶτος, ὁ δὲ TMN ὃ δεύτερος. ἔστω δέ τις γραμμὰ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ Θ, ἃ TZ, à δὲ ZA ποτ᾽ ὀρϑὰς ἄχϑω τᾷ TA. συμ- πεσείται δὴ αὐτὰ và TZ διὰ τὸ δεδείχϑαι τὰν γωνίαν

15 ὀξεῖαν ἐοῦσαν τὰν ὑπὸ τῶν AT, TZ. δεικτέον, ὅτι ἃ ΖΑ εὐϑεῖα διπλασία ἐντὶ τᾶς τοῦ TMN κύκλου περιφερείας.

εἰ γὰρ μή ἐστι διπλασία, ἥτοι μείζων ἐστὶν ἢ δι- πλασία ἢ ἐλάσσων ἐστὶν ἢ διπλασία. ἔστω πρότερον,

20 εἰ δυνατόν, μείξων ἢ διπλασία. καὶ λελάφϑω τις εὐ- ϑεῖα ἃ 4.4 τᾶς μὲν Ζ4 εὐθείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ τοῦ TMN κύκλου περιφερείας μείξων ἢ διπλασία, ἔστιν δή τις κύκλος 0 TMN, καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ δε- δομένα ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἃ TN, καὶ ὃν ἔχει ἃ

26 ΤΑ͂ ποτὶ τὰν 4 A, μείξων τοῦ, ὃν ἔχει & ἡμίσεια τᾶς TN ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ 4 κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγομέ- v&v. δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ A4 ποτιβαλεῖν τὰν AZ ποτὶ τὰν TN ἐκβεβλημέναν ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς

1. κ' F. 2. καὶ scripsi; κατὰ F, uulgo; del. Nizzius. 8. ἐπιψαυοι Ἐς; corr. Torellius. — 5. συνπεσειται F. — 7. αρχας

DE LINEIS SPIRALIBUS. 19

XIX.

Sin spiralem secunda circumactione descriptam in lermino contingit linea, et a principio spiralis linea ad principium circumactionis perpendicularis ducitur, ea in lineam contingentem incidet, et linea inter con- lngentem eli principium spiralis posita duplo maior erib ambitu cireuli secundi. |

nam spiralis 4 BI'O prima circumactione descripta sit, € ET autem secunda, et circulus 9K H primus sit, TMN autem secundus. et linea aliqua T'Z spi- ralem contingat in puncto 6, et linea ΖΑ͂ ad lineam TA perpendicularis ducatur. ea igitur in lineam TZ incidet, quia demonstratum est, angulum linéis 471, TZ comprehensum acutum esse [prop. 17]. demon- sirandum, lineam Z.4 duplo maiorem esse ambitu cir- cui TMN.

nam si duplo maior non est, aut maior est aut minor quam duplo maior. sit prius, si fieri potest, maior quam duplex. et sumatur linea 4 4 minor quam duplo maior linea Z.4, sed maior quam duplo maior ambitu cireuli T'M.N [prop. 4]. itaque datus est cir- eulus T MN, et in circulo linea minor diametro, T'N [p. 73 not. 1], et [ratio] T4: 4.44 maior ea, quam habet dimidia linea TN ad lineam ab 4 ad eam per- pendieularem ductam [p. 13 not. 2]. fieri igitur pot- est, αὖ ab 4 linea 4. ad lineam T'N productam ita

και τας F; corr. B. 14. δή] scripsi; δὲ F, uulgo. αὐτα) Nizzius; τα αὐτὰ F, uulgo. 16. ουσαν F, uulgo. τὰν] τῶν

per comp. F; corr. 'V. 4TZ F, uulgo. — 23. γραμμὰ δεδο- μένα] scripsi; γεγραάμμενα F, uulgo; γραμμά B; ,linea data'* Cr. 24. ἔχει λόγον B*D, ed. Basil, Torellius (non C*).

80 ΠΕΡῚ EAIKSN.

περιφερείας καὶ τᾶς ἐκβεβλημένας τὰν ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΡ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν & ΤΑ ποτὶ τὰν A A. τεμεῖ δὴ & ΑΣ τὸν μὲν κύκλον κατὰ τὸ P, τὰν δὲ

ἕλικα κατὰ τὸ X. καὶ ἐναλλὰξ τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον & ΡΣ ποτὶ τὰν ΤΑ, ὃν ἁ ΤΡ ποτὶ τὰν 44. ἁ δὲ ΤΡ ποτὶ τὰν 4.4 ἐλάσδονα λόγον ἔχει, ἢ ἃ TP περι- φέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τοῦ TMN κύκλου περι- φέρειαν. ἔστιν γὰρ ἃ μὲν TP εὐϑεῖα ἐλάσσων τῶς ΤΡ περιφερείας, ἃ δὲ 4.4 εὐϑεῖα μείζων ἢ διπλασία 10 τᾶς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περιφερείας. ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει & PZ ποτὶ τὰν AP, ἢ ἁ ΤΡ περιφέρεια ποτὶ τὰν διπλασίαν τᾶς τοῦ T.MN κύκλου περιφερείας. ὅλα οὖν & ΣΑ͂ ποτὶ τὰν AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἢ & TP περιφέρεια μετὰ τὰς τοῦ ΤΜΝ κύκλου περι- φερείας δὶς εἰρημένας ποτὶ τὰν τοῦ TMN κύκλου περιφέρειαν δὶς εἰρημέναν. ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἵ εἰρημέναι περιφερείαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον & ΧΑ ποτὶ τὰν AT. δεδείκται γὰρ τοῦτο. ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει & 42 ποτὶ τὰν AP, v) ἃ ΧΑ͂ ποτὶ τὰν TA 20 ὅπερ ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείζων ἐστὶν ἢ διπλασία &

e

σι

1

2. εχει F'; corr. B. 7. διπλασια F. ΤΗΝ] MN F;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 81

ducatur, ub sit ΡΣ: TP — T4:44. 42 igitur cir- culum in puncto P secabit, spiralem autem in puncto X. el uicissim erit [Eucl. V, 16]: ΡΣ: TA — TP: 44. sed ratio T'P: 4.4 minor est ea, quam habet arcus TP ad duplicem ambitum circuli TMN. nam linea TP minor est arcu ΤΡ, et linea 4.4 maior quam duplo maior ambitu circuli TM N. quare linea ΡΣ ad A4P!) minorem rationem habet, quam arcus ΤΡ ad duph- cem ambitum cireui TMN. itaque tota linea 2.4 ad 4P minorem rationem habet, quam arcus ΤΡ cum ambitu circuli TM NN bis numerato ad ambitum cir- eui T'MN bis numeratum.?) sed quam rationem ha- bent ambitus, quos significauimus, eam habet X 4 : 4 T. hoc enim demonstratum est?) itaque

AX :AP« XA:T A3 quod fieri non potest.) itaque linea Z4 maior non

1) Nam AP — AT.

2) Sc. συνθέντι; u. p. 67 mot. 2.

8) Prop. 15; hoc loco altera line& in terminum spiralis cadit; sed hoc nihil ad demonstrationem referre, diserte dictum est prop. 14 p. 60, 6 et 16 coroll. p. 62, 15. tum arcus a linea ad terminum apiralis uersus abscisus nullus est.

4) Nam 42/7 X4 ei AP — T 4; ium ἃ. Eucl. V, 8.

M ed. Basil, uulgo; corr. Torellius. 14. τοῦ] addidi; om.

F, uulgo. 15. εἰλημμένας et lin. 16 εἰλημμέναν Torellius. 16. ἐχουσιν F, uulgo. 19. AP 75 ἁ XA ποτὶ τάν repetuntur in F.

Archimedes, ed. Heiberg. IL 6

82 ΠΕΡῚ EAIKQN.

ΖΑ εὐθεῖα τᾶς τοῦ T.MN κύκλου περιφερείας. ὁμοίας δὲ δειχϑησέται, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἢ διπλασία. δῆλον οὖν, ὅτι διπλασία ἐστίν.

ΠΟΡΙΣΜΑ.

b διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δεικτέον, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιαοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, καὶ ἀπὸ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος sov ὀρϑὰς ἀχϑεῖσα τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς συμπίπτῃ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὅτι πολλα-

10 πλασία ἐστὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τοῦ κατὰ τὸν ἀριϑμὸν τὰς περιφορᾶς λεγομένου τῷ αὐτῷ ἀριϑμῷ.

,

κ΄. Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γε- 15 γραμμένας εὐϑεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ μὴ κατὰ τὸ πέράς τᾶς ἕλικος, ἀπὸ δὲ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς £AL- κος εὐθεῖα ἐπιξζευχϑῇ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ ἀρχᾷ τᾶς ἕλικος, διαστήματι δὲ τᾷ ἐπιξευχϑείσᾳ κύκλος γραφῇ» ἀπὸ δὲ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἀχϑῇ τις ποτ᾽ ὀρϑὰς τᾷ 20 ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιξευχϑείσα, συμπεσείται αὐτὰ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, καὶ ἐσσείται & μεταξὺ εὐθεῖα τὰς τε συμπτώσιος καὶ τᾶς ἀρχᾶς vüg ἕλικος ἴσα τᾷ περιφερείᾳ τοῦ γραφέντος κύκλου τῷ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς τομᾶς, καϑ᾽ ἂν τέμνει οὔ ὁ γραφεὶς κύκλος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφορᾶς, ἐπὶ τὰ 9. ὅτι) Nizzius; om. F, uulgo. 13. κα΄ F. 19. τὰ] om. Εἰ; corr. ABC. Initio prop. 20 spatium uacat in F. 81. ἐσσείται] εὔειται F. 22. συμπτώσιος] scripsi; συμπτωσιας F,

uulgo. 24. τᾷ] τας F; corr. B man. 2. — dv) scripsi; ὁ F, nulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 83

est quam duplo maior ambitu circuli TM N. οἱ &i- militer demonstrabimus, eam ne minorem quidem esse quam duplo maiorem. adparet igitur, eam duplo ma- lorem esse.

COROLLARIUM.

Eodem modo demonstrandum, etiam si spiralem qualibet cireumactione descriptam linea in termino spiralis contingat, et ἃ principio spiralis linea ad principium cireumaetionis perpendicularis ducatur et in contingentem incidat, eam toties multiplicem esse quam ambitum circuli ex numero circeumactionis nomi- nati, quoties indicet idem numerus.!)

XX.

Si spiralem prima circumactione descriptam recta linea contingib extra terminum spiralis, et ἃ puncto iactionis ad principium spiralis linea ducitur, et de- Scribitur circulus, cuius centrum est principium spira- lis, radius autem linea ducta, et a principio spiralis lne& ducitur ad lineam a puncto tactionis ad prin- cipium spiralis ductam perpendicularis, ea in lineam contingentem incidet, et linea inter punctum concur- sionis ei principium spiralis posita aequalis erit am- bitui circuli descripti inter punctum actionis et sec- lionem posito, in qua cireulus descriptus principium

1) Ofr. prop. 15 coroll. et prop. 17 coroll.

6*

10

15

20

84 ΠΕΡῚ ἘΛΙΚΟΝ,

προαγούμενα λαμβανομένας τᾶς περιφερείας ἀπὸ τοῦ σαμείου τοῦ ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἃς ἃ ABD, ἐν τᾷ πρώτᾳ περι- φορᾷ γεγραμμένα, καὶ ἐπιψαυέτω τις αὐτᾶς εὐϑεῖα ἃ EA4Z κατὰ τὸ 4, ἀπὸ δὲ τοῦ 4] ποτὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπεξεύχϑω ἁ 44, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ A, δια- στήματι δὲ τῷ 44 κύκλος γεγράφϑω ὁ Ω ΜΝ. τε- μνέτω δ᾽ οὗτος τὰν ἀρχὰν τᾶς περιφορᾶς κατὰ v K. ἄχϑω δὲ ἃ ZA ποτὶ τὰν 44] ὀρϑά. ὅτι μὲν οὖν αὐτὰ συμπίπτει ποτὶ τὰν Z4, δῆλον" ὅτι δὲ καὶ ἴσα ἐστὴν ἃ Z4 εὐϑδϑεῖα τᾷ KMN A περιφερείᾳ, δεικτέον.

δἰ γὰρ μή, ἤτοι μείξων ἐστὶν ἢ ἐλάσσων. ἔστω, εἰ δυνατόν, πρότερον μείξων. λελάφϑω δή τις & 4.4

τᾶς μὲν ΖΑ εὐϑείας ἐλάσσων, τᾶς δὲ KMN A περι- φερείας μείξων. πάλιν δὴ κύχλος ἐστὶν ὁ KMN, καὶ ἐν τῷ κύκλῳ γραμμὰ ἐλάσσων τᾶς διαμέτρου ἃ AN, καὶ λόγος, ὃν ἔχει & 4.4 ποτὶ 4.4 usífov τοῦ, ὃν ἔχει ἃ ἡμίσεια τᾶς ΔΝ ποτὶ τὰν ἀπὸ τοῦ 4 κάϑετον ἐπ᾽ αὐτὰν ἀγμέναν. δυνατὸν οὖν ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν τὰν AE ποτὶ τὰν N44 ἐκβεβλημέναν, ὥστε τὰν EP ποτὶ τὰν 4Ρ τὸν αὐτὸν ἔχειν λόγον, ὃν ἁ 44 ποτὶ τὰν 4.4. δεδείκται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν.

1. προαγμενὰα F, supra scripto compendio ov insolenter

DE LINEIS SPIRALIBUS. 85

cireumaclionis secat, ambitu ἃ puncto in principio eireumactionis posilo ad praecedentia uersus sumpto.

sib spiralis, in qua sit 4 BIZ, prima cireumactione descripta, et eam contingat linea aliqua EZ1Z in puncto 4, et a puncto 7f ad principium spiralis du- eatur 441, οὐ describatur circulus 44M N, cuius cen- irum sit 4, radius autem 4171. hic autem principium eireumactionis in puncto K secet. et ducatur linea Z 4 ad lineam 4471 perpendicularis. adparet igitur, eam in lineam ZZ incidere [angulus enim 47/Z acutus est; prop.16]. sed demonstrandum est, lineam Z4 etiam aequalem esse arcui K M N Zf.

nam 51 non est, aut maior esb aut minor. sit prius, 8i fieri potest, maior. sumatur igitur linea 744 minor linea Z.4, sed maior areu K MN Z4 [prop. 4]. rursus igitur datus est cireulus K MN, et in circulo linea 4N minor diametro [p. 73 not.1], et ratio 144: 4.4 malor ea, quam habet dimidia linea z/ N ad lineam ab 4 ad eam perpendicularem ductam [p. 73 not. 2]. fieri igitur potest, ut ab 44 ducatur linea AE ad li- neam ANZ/ productam, ita ut sit EP: AP — 44:4 4. nam demonstratum est, hoc fieri posse [prop. 7]. quare

ducto; προαγευμενα ed. Baeil. 8. περιφορᾷ] Torellius; om.

, uulgo. 4. καί supra scriptum manu 1 F. 5. EAZ] Nizzius; AEZ F, 4EZ uulgo. 8. ovrog ἘΠ; corr. Torellius. 10. ποτὶ τὰν ZA] addidi; om. F, uulgo. 18. πρωτερον F. δή] scripsi; δὲ F, uulgo. 17. most] προς per comp. Εἰ; corr. Torellius.

cQ

10

2

2

0

σι

86 ΠΕΡῚ EAIKSN,

ξξει οὖν καὶ ἃ EP ποτὶ τὰν AP τὸν αὐτὸν λόγον, ὃν ἃ 4Ρ ποτὶ τὰν 44. ἁ δὲ 4Ρ ποτὶ τὰν 4.4 ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἢ ἁ 4 περιφέρεια ποτὶ τὰν Κὶ ΜΖ περιφέρειαν, ἐπεὶ ἃ μὲν 4} ἐλάσσων ἐστὶ τᾶς ΖΡ περιφερείας, à δὲ 44 μείξων τᾶς KM περι- φερείας. ἐλάσσονα οὖν λόγον ἔχει ἃ EP εὐϑεῖα ποτὶ PA, ἢ ἃ AP περιφέρεια ποτὶ τὰν K MA περιφέρειαν: ὥστε καὶ ἃ AE ποτὶ AP ἐλάσσονα λόγον ἔχει, ἢ ἁ

KMP περιφέρεια ποτὶ τὰν KM περιφέρειαν. ὃν,

δὲ λόγον ἔχει ἃ ΚΜΡ ποτὶ τὰν KM. περιφέρειαν, τοῦτον ἔχει ἃ ΧΑ͂ ποτὶ 44. ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει & ΕΑ ποτὶ AP, & AX ποτὶ 4.4. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. οὐκ ἄρα μείξων ἃ Ζ.4 vàg KM περι- φερείας. ὁμοίως δὲ volg πρότερον δειχϑησέται, ὅτι οὐδὲ ἐλάσσων ἐστίν' ἴσα ἄρα.

IIOPIZMA.

διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχϑησέται, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν τῷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπι- ψαύῃ εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατασκευασϑέωντι, ὅτι ἃ μεταξὺ εὐθεῖα ἃ ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν συμπίπτουσα τᾶς τε συμπτώ- σιος καὶ τᾶς ἀρχᾶς τᾶς ἕλικος ἴσα ἐστὶν ὅλᾳ τᾷ τοῦ γραφέντος κύκλου περιφερείᾳ καὶ ἔτι và μεταξὺ τῶν εἰρημένων δαμείων, ὡσαύτως τᾶς περιφερείας λαμβα- νομένας. καὶ εἴ κα τὰς ἐν ὁποιαοῦν γεγραμμένας περιφορᾷ ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα μὴ κατὰ τὸ πέ-

———M

2. δὲ 4P] δὲ AP F; corr. Torellius. 6. ποτί] προς per

, comp. F; oorr. Torellius, ut lin. 8, 9, 10, 11, 12 (bis). . 9.

ταν) addidi; om. F, uulgo. 19. ἁ E4] ῆ ÉA F; corr. To- rellius. ἃ AX] ἃ om. F. 15. ἐση F ; corr. Torellius. 20. κατασκευασϑεντι Ἐπ corr. Torellius. 'é] (alt. scripsi; τὰς

DE LINEIS SPIRALIBUS. 87

eliam erit [Eucl. V, 16] EP: 4Ρ — 4P: 4.4.3) sed 4 P ad 4.4 minorem rationem habet, quam arcus ΖΡ ad arcum KM, quoniam linea 41} minor est arcu 4P, linea autem 444 maior arcu KM [ex hypo- thesi] itaque EP ad P4 minorem rationem habet, quam arcus 4 ad arcum K M. quare eliam AE ad 4P minorem rationem habet, quam arcus K MP ad arcum Καὶ MZ?) sed quam rationem habet arcus K M P ad arcum K M 4, eam habet X 4: “4 [prop. 14]. ert igitur EA: 4P « 4X: 44; quod fieri non pot- esi?) quare linea Z4 arcu Καὶ ΜΖ maior non est. et eodem modo, quo supra, demonstrabimus, ne minorem quidem eam esse. itaque aequalis est.

COROLLARIUM.

Eodem autem modo demonstrabimus, etiam si spi- ralem secunda cireumactione descriptam linea contingat exira terminum spiralis, et cetera eadem comparentur, lineam in contingentem incurrentem inter punctum concursionis et principium spiralis comprehensam ae- qualem esse toli ambitui circuli descripti et praeterea arcul inter puncta, quae commemorauimus [p. 82, 24], comprehenso, arcu eodem modo sumpto. et etiam si spiralem qualibet cireumactione descriptam linea con- lingat exira terminum spiralis, οὐ cetera eadem com-

1) Nam dA - AP. 2) συνθέντι; u. p. 67 not. 2. 3) Nam AP — 44 et EA 7 AX; tum u. Eucl. V, 8.

——M —À — M— M À € M M HÀ — M

F, uulgo; om. B. 21. συμπιπτούσας Torellius. τᾶς τε συμπτώσιος] addidi; om. F, uulgo. 22. καί] ἀπό ed. Basil, Torellius. 26. περιφορας Εἰ; corr. À.

88 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

ρας τᾶς ἕλικος, τὰ δὲ ἄλλα và αὐτὰ κατασκευασϑέωντι, ὅτι & μεταξὺ εὐϑεῖα τῶν εἰρημένων σαμείων πολλα- πλασία τίς ἐστι τᾶς τοῦ γραφέντος κύκλου περιφερείας κατὰ τὸν ἑνὶ ἐλάσσονα ἀριϑμὸν τοῦ, καϑ᾽ ὃν cl περι-

δ φοραὶ λεψγόνται, καὶ ἔτι ἴσα τᾷ μεταξὺ τῶν εἰρημένων

σαμείων ὁμοίως λαμβανομένᾳ.

κα΄.

Δαμβάνοντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε

τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας 10 καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς πρώτας ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περί- φορᾶς δυνατόν ἐστι περὶ αὐτὸ σχῆμα ἐπίπεδον περι- γράψαι καὶ ἄλλο ἐγγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκεί- μενον. ὥστε τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμμένου μεῖξον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου.

15 ἔστω ἕλιξ, ἐφ᾽ ἧς & 4ΒΓΖ, ἐν τᾷ πρώτᾳ περι- φορᾷ γεγραμμένα. ἔστω δὲ ἀρχὰ μὲν τᾶς ἕλικος τὸ Θ σαμεῖον, ἀρχὰ δὲ τᾶς περιφορᾶς & ΘΑ͂, 0 δὲ πρῶτος κύχλος ὁ ZHIA, αἱ δὲ AH, ZI διαμέτροι αὐτοῦ ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀλλάλαις. ἀεὶ δὴ τᾶς ὀρϑᾶς γωνίας δίχα τεμνομένας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὰν ὀρϑὰν γωνίαν περιέχοντος ἐσ- σείται τὸ καταλειπόμενον τοῦ τομέως ἔλαδσδον τοῦ προτεϑέντος. καὶ ἔστω γεγενημένος ὁ τομεὺς ὁ

1. κατεσκευασϑαιωντι F. — 4. ἑνί] Torellius; om. F, uulgo. 6. λαμβανομένᾳ] scripsi; λαμβανομενας F, uulgo. 7. κβ΄ F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 89

parentur, lineam inter puncta, quae significauimus, comprehensam toties multiplicem esse quam ambitum eireuli descripti, quoties indicel. numerus uno minor eo, quo circumactiones nominentur, et praeterea aequa- lem [arcui] inter puncta, quae commemorauimus, eo- dem modo sumpto.)

XXI.

Sumpto spatio comprehenso spirali prima circum- actione descripta et linea prim& earum, quae in prin- eipio cireumactionis sunt, fieri potest, ut circum hoe spatium circumseribatur figura plana et alia inscriba- iur ex similibus sectoribus compositae, ita ut figura circumscripta excedat inscriptam spatio minore, quam est quodlibet spatium datum.

sib spiralis, in qua sit 4.Β ΓΖ, prima circumactione descripta. ei principium spiralis sit punctum 6, principium autem circumactionis linea 6.4, οὐ primus circulus ZHI 4, οἱ diametri 4H, ZI inter se perpen- diculares. angulo igitur recto eti sectore, qui rectum angulum comprehendit, semper deinceps in duas partes aequales diuiso, quae relinquitur pars sectoris, [ali- quando] minor erit dato spatio [Eucl X, 1]. et ortus

1) Cfr. prop. 16 coroll, prop. 17 coroll.

8. λαμβάνοντα λαβόνταῦ 132. τομων F; corr. Nizzius; idem uerba ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον post περιγράψαι collocat. 20. ποτ᾽] προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. αλληλαις F ad- dito compendio ας supra 4; corr. Torellius. 23. τὴν ορϑὴην F; corr. Torellius. In figura ordo litterarum turbatus est in F.

90 ΠΕΡῚ ΕΛΙΚΩ͂Ν.

10

1

ὄ

20

2

ex

46K ἐλάσσων τοῦ προτεϑέντος χωρών. διαιρήσϑω- ὅαν δὴ αἱ γωνίαι αἱ τέσσαρες ὀρϑαὶ εἰς τὰς ἴσας γωνίας τᾷ περιεχομένᾳ ὑπὸ τᾶν 460, ΘΚ, καὶ c που- οὔύδσαι τὰς γωνίας εὐϑείαι ἔστε ποτὶ τὰν ἕλικα ἄγϑω- cav. καϑ᾽ ὃ δὴ τέμνει σαμεῖον ἃ ΘΚ τὰν ἕλικα, ἔστω τὸ 4, καὶ κέντρῳ τῷ Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΑ͂ xvxAog γεγράφϑω. πεσείται δὴ αὐτοῦ ἁ μὲν εἰς τὰ προαγού- μενα περιφέρεια ἐντὸς τᾶς ἕλικος, ἃ δὲ εἰς τὰ ἑπό- μενα ἐκτόρ. γεγράφϑω δὴ ἃ περιφέρδια, ἔστε κα συμ- πέσῃ τᾷ ΘΑ͂ κατὰ τὸ O, ἁ ΟΜ, καὶ τᾷ μετὰ τὰν ΘΚ εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσᾳ. πάλιν δὴ καὶ x«9' ὃ τέμνει τὰν ἕλικα σαμεῖον ἃ ΘΜ, ἔδτω τὸ Ν, καὶ κέντρῳ τῷ O, διαστήματι δὲ τῷ ΘΝ κύκλος ys- γράφϑω, ἔστε κα συμπέσῃ & περιφέρεια τοῦ κύκλου τᾷ ΘΚ καὶ τῷ μετὰ τὰν O M ποτιπιπτούσᾳ ποτὶ τὰν ἕλικα. ὁμοίως δὲ καὶ διὰ τῶν ἄλλων πάντων, κατ᾽ ἃ τέμνοντι τὰν ἕλικα αἴ τὰς ἴσας γωνίας ποιούδαε, κύκλοι γεγράφϑωσαν κέντρῳ τῷ Θ, ἔστ᾽ ἂν συμπέσῃ ἑκάστα ἃ περιφέρδια τᾷ τε προαγουμένᾳ εὐθείᾳ καὶ τᾷ ἑπομένᾳ. ἐσσείται δή τι περὶ τὸ λαφϑὲν χωρίον περιγεγραμμένον ἐξ ὁμοέων τομέων συγχείμενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμμένον. ὅτι δὲ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου “μεῖξόν ἐστιν ἐλάσσονι τοῦ προ- τεϑέντος χωρίου, δειχϑησέται. ἔστιν γὰρ ὁ μὲν 0 40 τομεὺς ἴδος τῷ OM 4, ὃ δὲ ΘΝΠ τῷ ONP, ὁ δὲ ΘΧΣ τῷ OXT, ἔστιν δὲ καὶ τῶν ἄλλων τομέων

2. δὴ αἴ δὴ ov» Ε; corr. B. 8. τας περιεχομενας E; corr. Torellius. 4. ἔστε ποτέ] scripsi; eG τὴν κατὰ F, uulgo; ἐκβεβλήσθωσαν ἐστ᾽ ἂν κατά lorelhus. ἄγχθωσα» B; αχϑω- σιν F, uulgo; ἀγϑῶντι Torellius, 1. 95] δὲ F; corr. ΒΞ. σπρο-

, ἀγούμενα] scripsi; προαγωμενα F; προαγόμενα uulgo. 8. περι-

φερειαι Y. 9. ἔστε καὶ scripsi; Ἔσται (comp.) καν F, uulgo;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 91

ϑιὺ seclor 40 K dato spatio minor. diuidantur igitur anguli recii quattuor in angulos ei aequales, qui lineis 49, 6 K comprehenditur, et lineae angulos efficientes usque ad spiralem producantur. punctum igitur, in quo linea ΘΙ spiralem secat, sit 4, οὐ de- seriba&ur circulus, euius centrum sit O, radius autem 0.4. ea igitur pars ambitus eius, quae in praecedenti- bus est, inira spiralem cadet, quae in sequentibus est, exira. describatur igitur ambitus usque eo, ut occurrat et lineae ΘΩ͂ in puncto O et lineae post O K ad spi- ralem ductae, et sit ΟΜ. rursus igitur punctum, in quo linea G.M spiralem secat, sib Ν, et describatur eirculus, cuius centrum sit 6, radius autem 9 N, usque eo, ut ambitus circuli lineae ΘΙ et lineae post. 9 M ad spiralem dueiae occurrat. et eodem modo etiam per cetera omnia puncta, in quibus lineae aequales angulos efficientes spiralem secant, circuli describantur quorum centrum sit O, usque eo ut singuli ambitus οὐ praecedenti lineae et sequenti occurrant. itaque eireum spatium sumptum [figura] quaedam circum- scripta erit et alia inscripta ex similibus sectoribus compositae. demonsirabimus autem, figuram circum- scripbam excedere inscriptam spatio minore, quam est datum spatium. est enim 0 40 — 6 M A,

F; corr. B. 16. x«9' α Torellius. 19. ἕκαστας Ἐ: corr. Torellius. —zQocyovuévo] scripsi; προαγομενα F, uulgo. 2320. ἐσσείται} scripsi; Ἔσται per comp. F, uulgo. 21. περιγεγραμ- μένον σχῆμα Torellus. τομαιῶν F.

cQ

10

15

20

25

99 ΠΕΡῚ EAIKON.

ἕκαστος τῶν ἐν τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι ἴσος τῷ κοινὰν ἔχοντι πλευρὰν τομεῖ τῶν ἐν τῷ περιγεγραμμένῳ σχήματι τομέων. δῆλον οὖν, ὅτι καὶ πάντες οἵ τομεῖς πάντεσσιν ἴσοι ἐσσούνται. ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ἐγγε- γραμμένον σχῆμα ἐν τῷ χωρίῳ τῷ περιγεγραμμένῳ περὶ τὸ χωρίον σχήματι χωρὶς τοῦ ΘΑ͂Κ τομέως. μό- νος γὰρ οὗτος οὐ λελάπται τῶν ἐν τῷ περιγεγραμ- μένῳ σχήματι. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμμένον Oy τοῦ ἐγγεγραμμένου μεῖξόν ἐστι τῷ 4 ΚΘ τομεῖ, ὃς ἐλάσσων ἐστὶν τοῦ προτεϑέντος.

IIOPIZMA.

ἐκ τούτου δὲ φανερόν, ὅτι δυνατόν ἐστι περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον σχῆμα, οἷον εἰρήται, γράφειν, ὥστε τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα μεῖξον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου, καὶ πάλιν ἐγγράφειν, ὥστε τὸ χωρίον ὁμοίως μεῖξον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέν- τος χωρίου.

κβ΄.

“Μαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶς ἕλι- κος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας, & ἐστι δευτέρα τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφο- ρᾶς δυνατόν ἐστι περὶ αὐτὸ σχῆμα ἐπίπεδον περιγρά- ψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν τοῦ ἐγγραφέντος μεῖξον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου.

4. ἐσουνται F, uulgo. δ. τῷ] (alterum) ro F. 7. οὐ addidi cum Nizzio; om. F, uulgo; λέλειπται B. 9. ueites]

BCD; usi£o» F, uulgo. 14. εἶμεν] Torellius; eio: per comp. F, uulgo. 16. ἐλάσσονι] ελασσον εἰμὲν Εἰ; corr. B. παῖ cum

DE LINEIS SPIRALIBUS. 93

seclorum unusquisque eorum, qui in figura inscripta sunt, aequalis est sectori latus commune habenti eorum, qui in figura circumscripta sunt. adparet igitur, etiam omnes sectores omnibus aequales fore. itaque figura spatio inscripta aequalis est figurae circumscriptae praeter sectorem 69.4 K. hic enim solus non adsump- ius est eorum, qui in figura circumscripta sunt. adparet igitur, figuram cireumscriptam excedere in- scriplam sectore 44K, qui minor est spatio dato [ex hypothesi].

COROLLARIUM.

Hinc autem manifestum est, fieri posse, αὖ circum spatium, quod commemorauimus, figura huiusmodi de- scribatur, ita ut figura circumscripta spatium excedat spatio minore, quam est quodlibet spatium datum, et rursus inscribatur, ita ut spatium eodem modo figuram inscriptam excedat spatio minore, quam est quodlibet datum spatium.)

XXII.

Sumpto spatio comprehenso spirali secunda circum- actione descripta et linea secunda earum, quae in principio circumactionis sunt, fieri potest, ut circum id [spatium] figura plana circumsceribatur et alia in- scribatur ex similibus sectoribus compositae, ita ut figura circumscripta excedat inscriptam spatio minore, quam est quodlibet datum spatium.

1) Nam spatium maius est figura inscripta, minus uero cir- cumscripta.

comp. ἢν uel ἐν F. 16. uei£ cum comp. ov Ε. 19. κγ΄ F. : 90. υπό ce B, Torellius.

94 ΠΕΡῚ EAIKQNN.

ἔστω EE, ép! dg ἃ ΜΒΓΖΔΕ, ἐν và δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα. καὶ ἔστω τὸ μὲν O0 σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, & δὲ 4Θ ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, ἃ ὃὲ ΕΑ ἁ δευτέρα εὐθεῖα τῶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περι-

ὅ φοῤᾶς. ὁ δὲ AZH κύκλος ἔστω δεύτερος, καὶ αἵ ΑΓΗ͂, ZI διαμέτροι αὐτοῦ ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀλλάλαις. πάλιν οὖν δίχα τεμνομένας τᾶς ὀρϑᾶς γωνίας καὶ τοῦ τομέως τοῦ τὰν ὀρϑὰν γωνίαν περιέχοντος ἐσσεί- ται τὸ καταλειπόμενον ἔλασσον τοῦ προτεθέντος. καὶ 10 ἔστω γεγενημένος ὁ ΘΚΑ͂ τομεὺς ἐλάσσων τοῦ’ προ- τεϑέντος. διαιρεϑεισᾶν δὴ v&v ὀρϑᾶν γωνιᾶν εἰς τὰς ἴσας γωνίας τᾷ ὑπὸ τᾶν ΚΘ, ΘΑ͂ καὶ τῶν ἄλλων καταδσχευασϑέντων κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον ἐσσεί- ται τὸ περιγεγραμμένον δὄχῆμα τοῦ ἐγγεγραμμένου 16 σχήματος μεῖξον ἐλάσσονι, ἢ ὁ τομεὺς ὁ ΘΚΑ͂. μεῖξον γὰρ ἐσσείται τᾷ ὑπεροχᾷ, & ὑπερέχει 0 ΘΚΑ͂ τομεὺς

4

tov O EP.

IIOPIZMA A'. δῆλον οὖν, ὅτι δυνατόν ἐστι xal τὸ περιγραφὲν 20 σχῆμα τοῦ λαφϑέντος χωρίου μεῖξον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου, καὶ πάλιν τὸ λαφϑὲν χωρίον μεῖξον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσ- 6ovL παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου.

6. ACH] «ΤῊ F; corr. ACD; ΓΗΒ, ed. Basil.; 4H To- rellius. ποτ᾽) προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. αλλη- λαις F; corr. Torellius. — 7. zo4 cum comp. ἣν uel εν Εἰ, ut lin. 21. ἀεὶ δέχα Torellius. 8. τὴν ορϑὴν (comp.) F; corr. Torelius. 9. x«l ἔστω ad προτεϑέντος lin. 11 mg. F, manu 1, signo adposito, quod idem in textu exstat; χωρέου addidit (lin. 11) ed. Basil, Torellius. 12. τὰν] τῶν per comp. F; corr. Torellius. K6 A F, uulgo. 15. ueitov] (alt.) μειξων per comp. F; corr. Torellius. 16. τῷ] Torellius; ἃ F, uulgo. 20. λαμφϑέεντος F.

DE LINEIS SPIRALIBUS. . 95

sib spiralis, in qua sit 4BI'4E, secunda circum- actione descripta. et punctum 6 principium sit Spi- ralis, linea autem 449 principium circumactionis, linea &ulem E.4 secunda earum, quae in principio circum- actionis sunt. ei circulus 4Z.H secundus sit, εὐ 4 ΓΗ͂, ZI diameliri eius inter se perpendiculares. rursus igitur recto angulo ei seciore rectum angulum com- prehendenti in partes aequales diuiso, quod re- linquiur, minus erit dato spatio [Eucl. X, 1]. et ortus sit sector 60K 4 M dato spatio minor. an- gulis igitur rectis [quat- iuor] in angulos aequa- les angulo lineis ΚΘ, ΘΑ͂ comprehenso diuisis et celeris eodem modo, quo antea, comparatis figura circumscripta excedet in- Scriplam spatio minore, quam est sector ΘΚ 4. ex- cedet enim spatio, quod est, 9 K 4 —- € EP.

COROLLARIUM 1.

Adparet igitur, fieri posse, ut figura circumscripta spatium sumptum excedat spatio minore, quam esi quodlibet spatium datum, et rursus ut spatium sump- ium figuram inscriptam excedat spatio minore, quam est quodlibet datum spatium [p. 98 not. 1].

96 | ΠΕΡῚ EAIKQN.

IIOPIZMA Β΄.

διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου φανερόν, διότι δυνατὸν λαβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό vs τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁποιαοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ ὅ τᾶς εὐθείας τᾶς ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριϑμὸν λεγομένας περιγράψαι σχῆμα, οἷον εἰρήται, ἐπίπεδον, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖξον εἶμεν τοῦ λαφϑέντος χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίον, καὶ πάλιν ἐγγράψαι, ὥστε τὸ 10 λαφϑὲν χωρίον μεῖξον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήμα-

τος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου.

,

κγ΄. Ααβόντα τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς ἕλικος, & ἐστιν ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμ- 15 μένας, οὐκ ἐχούσας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος, καὶ τῶν εὐθειᾶν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων τᾶς ἕλικος ἀγο- μέναν δυνατόν ἐστι περὶ τὸ χωρίον σχῆμα ἐπίπεδον περιγράψαι ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον καὶ ἄλλο ἐγγράψαι, ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα τοῦ ἐγγραφέντος 80 μεῖξον εἶμεν ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου. ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἃς & ABI'AE, πέρατα δὲ αὐτᾶς τὰ 4, E, ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλικος τὸ Θ, καὶ ἐπεξεύχ- ϑωσαν αἱ 40, ΘΕ. γεγράφϑω δὴ κύκλος κέντρῳ μὲν τῷ Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΑ͂, καὶ συμπιπτέτω τῷ 26 ΘΕ κατὰ τὸ Z. ἀεὶ δὴ τᾶς γωνίας τᾶς ποτὶ τῷ Θ καὶ τοῦ τομέως τοῦ OZ δίχα τεμνομένων ἐσσείται τὸ καταλειπόμενον τοῦ προτεϑέντος ἔλασσον. ἔστω ἐλάσσων ὁ τομεὺς ὁ ΘΑ͂Κ τοῦ προτεϑέντος. ὁμοίως

1. πόρισμα β΄] mg. Πορισμα (comp.) F. 2. διότι] ὅτι Nizzius. 7. ὥστε] soto per comp. F; corr. AB. 9. sto

DE LINEIS SPIRALIBUS. 91

COROLLARIUM II.

Et eadem ratione manifestum est, fieri posse, ut sumpto spatio comprehenso spiral qualibet circum- actione descripta et linea eodem numero nominata earum, quae in principio circumactionis sunt, figura plana eius modi circumscribatur, ita ut figura circum- scripta spatium sumptum excedat spatio minore, quam est quodlibet spatium datum, et rursus inscribatur, ita αὖ spatium sumptum figuram inscriptam excedat spatio minore, quam est quodlibet datum spatium.

XXIII.

Sumpto spatio comprehenso spirali, quae minor est spirali una cireumactione descripta, sed cuius terminus non est principium spiralis, et lineis a terminis spi- ralis ductis fieri potest, ut circum id spatium figura plana cireumseribatur et alia inscribatur ex similibus seetoribus compositae, ita ut figura circumscripta ex- cedat inscriptam spatio minore, quam est. quodlibet datum spatium.

sib spiralis, in qua sib 4BI'^ E, et termini eius 4, E puncta, ei principium spiralis sit Θ, et ducantur lineae 460, ΘΕ. describatur igitur circulus, cuius eentrum 5810 6, radius autem 69.4, οὐ in lineam 6 E incidat in puncto Z. ilaque angulo ad € posito et sectore 9 4Z semper deinceps in duas partes aequales

cum comp. y» uel,» F. 12. xà Βὶ 14. ἐστι. LE, uulgo. 16. τοῦ πέρατος Biualtus, Torellius. 26. d] scripsi; δὲ F, uulgo. τῷ} scripsi; ro F, uulgo. 26. ἐσσεέται) scripsi; ἔσται per comp. F, uulgo.

Archimedes, ed. Helberg. II. (i

98 HÉPI EAIKSN.

δὴ τοῖς πρότερον γεγράφϑωσιαν κύκλοι διὰ τῶν σα- μείων, x«9' ἃ τέμνοντι τὰν ἕλικα αἵ τὰς ἴσας γωνίας ποιούδσαι ποτὶ τῷ Θ, ὥστε τᾶν περιψερειᾶν ἑκάσταν συμ- πίπτειν τᾷ τε προαγουμένᾳ καὶ τᾷ ἑπομένᾳ. ἐσσείται δή τι περὶ τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑχό ts τᾶς 4ΒΓΖΕ ἕλικος καὶ τῶν 40Θ, OE εὐϑειᾶν περιγεγραμμένον σχῆμα ἐπί- πεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγ- κείμενον καὶ ἄλλο ἐγγεγραμ-

μένον, καὶ τὸ περιγεγραμμένον τοῦ ἐγγεγραμμένου

ἐλάσσσνι ὑπερέχει τοῦ προτεϑέντος χωρίου. ἐλάσσων 15 γάρ ἐστιν ὁ OAK τομεύῦς.

IIOPIZMA,

ἐκ τούτου φανερόν ἐστιν, ὅτι δυνατόν ἐστιν περὶ τὸ εἰρημένον χωρίον σχῆμα ἐπίπεδον, οἷον εἰρήται, περιγρώψαι ὥστε τὸ περίὶγραφὲν σχῆμα μεῖξον εἶμεν 20 τοῦ χωρίου ἐλάσσονι παντὸς τοῦ προτεϑέντος χωρίου, καὶ πάλιν ἐγγράψαι ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον μεῖξον εἶμεν τοῦ ἐγγραφέντος σχήματος ἐλάσσονι παντὸς τοῦ

σιροτεϑέντος χωρέου.

κδ΄.

25 Τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό vs τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς πρώτας τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ κύκλου τοῦ πρώτου.

2. τεμνουσιν τὴν F; corr. Torellius. 8. τῷ] Torellius;

DE LINEIS SPIRALIBUS. 99

diuiso, quod relinquitur, minus erit spatio dato. sec- tor 6,.4,K sib dato spatio mimor. eodem igitur modo, quo g8niea, circuli deseribantur per ea puncta, in quibus lineae aequales angulos ad € punoium efficien- ies spiralem secant, ita ui unusquisque arcus et prae- cedenti lineae eb sequenti oecnrrat. eri igitur circum spatium comprehensum spirali 4BI'4 E et lineis 46, ΘΕ figura plana cireumscripta et alia inscripta ex similibus sectoribus compositae, οὐ figura circumscripta excedit inscripiam spatio minore, quam est datum spa- tium. eo enim minor esi sector 6 4 K.

COROLLARIUM.

Hinc manifestum est, fieri posse, ut circum spatium, quod commemorauimus, figura plana eiusmodi circum- scribatur, iia αὖ figura circumscripta excedat spatium spatio minore, quam est quodlibet datum spatium, et rursus inscribatur, ita ut spatium illud figuram in- seriptam excedat spatio minore, quam est quodlibet datum spatium [p. 93 not. 1].

XXIV. Spatium comprehensum spirali prima circumactione descripta ei linea prima earum, quae in principio cir- eumactionis sunt, tertia pars est circuli primi!)

1) Hoe theorema suis uerbis propositum et propria ratione demonstratum habet Pappus IV, 84 p. 236—88.

τα F, uulgo. 4. exacro F; corr. Torellius. 7. περί] 0m. F; corr. Torellius. 14. ελασσ cum comp. ov F. 18. σχῆμα] &ddidi; om. F, uulgo. 21. καὶ πάλιν ad lin. 28 χωρίου om. F; eorr. Rjualtus. 2424. xs' F.

QoTr

10

2b

100 ΠΕΡῚ EAIKSN.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ’ ἃς ἃ ABI AEG, ἐν τᾷ πρώτᾳ περι- φορᾷ γεγραμμένα. ἔστω δὲ τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃ δὲ ΘΑ͂ εὐθεῖα πρώτα τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς, ὁ 0b 4ΚΖΗΙ κύκλος πρῶτος, οὗ τρί- τον μέρος ἔστω ὃ, ἐν ᾧ α, κύκλος. δεικτέον, ὅτε ἴσον ἐστὶ τὸ προειρημένον χωρίον τῷ Q κύκλῳ.

εἰ γὰρ μή, ἤτοι μεῖξόν ἐστι ἢ ἔλασσον. ἔστω πρό-

τερον, εἰ δυνατόν, ἔλασσον.

δυνατὸν δή ἐστι περὶ τὸ

χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τᾶς 4ΒΓΖ4 EO ἕλικος καὶ τᾶς 40 εὐϑείας περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ

ὁμοίων τομέων συγκείμενον,

ΙΑ͂

ὥστε τὸ περιγραφὲν σχῆμα μεῖξον εἶμεν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι τᾶς ὑπεροχᾶς, & ὑπερέχει ὃ Q κύκλος τοῦ εἰρημένου χωρίου. περε- γεγράφϑω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν συγ- κείται τὸ εἰρημένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ Θ4 K, ἐλά- χιότος δὲ ὁ ΘΕΟ. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμμέ- νον σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἡ κύχλου. ἐκβεβλή- σϑωσαν δὲ αἵ εὐϑείαι al ποτὶ τῷ € ποιούσαι τὰς ἴσας γωνίας, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ

τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πεσῶντι. ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι, ὧν ἐστι μεγίστα μὲν ἁ

3. τῶν] addidi; om, F, uulgo. 4. AKZ HI] ΑΝΖΗ͂Ι supra

scripto-K manu, ut uidetur, 2 F.

. v.

. * 1 .* *

6. ὃ] addidi; om. F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 101

sib spiralis, in qua sit 4BI'EO, prima cireum- aelione descripta. οὖ punctum 6 principium sit spi- ralis, linea autem 6 4 prima earum, quae in principio eireumaciionis sunt, et 4KZHI circulus primus, cuius lerlia pars sit circulus, in quo est littera 4. demon- sirandum, spatium illud cireulo 4 aequale esse.

nam 81 non est, aut maius est aut minus. sii prius, si fieri potest, minus. fieri igitur potest, αὐ eireum spatium comprehensum spirali 48 ΓΖ ΕΘ et linea 46 figura plana cireumscribatur ex similibus seetoribus composita, ita ut figura circumscripta sp&- lium excedat spatio minore, quam excessus est, quo eireulus q spatium illud excedat [prop. 21]. circum- scribatur igitur, et sectorum, ex quibus figura illa eomposita esí, maximus sib 64K, minimus auiem 6EO. adparet igitur, figuram circumscriptam mino- rem esse circulo 4. producantur igitur lineae, quae ad punetum Θ᾽ aequales angulos efficiunt, usque eo, πὸ ad ambitum circuli perueniant. sunt igitur lineae quaedam, eae scilicet, quae a puncto Θ᾽ ad spiralem ductae sunt, aequali spatio inter se excedentes, qua-

1) Sit spatium illud E, figura autem circumscripta 7; tum erii ex hypothesi F — E «q— RE»: F«q.

11. συγκείμενον) om. F; corr. Torellius. 21. ὅτι] comp. F.

924. «f| (prius) addidi; om. F, uulgo. αἴ om. F; corr. To- rellius. 25. ποτί]) προς per comp. Εἰ; corr. Torellus. τῷ]

scripsi; ro F, uulgo. 28. αἴ] addidi; om. F, uulgo. 29. o» F, uulgo. μεγίστα͵ scripsi; μειξων F, uulgo.

10

15

20

26

102 . ΠΕΡῚ EAIK SN.

6 4, ἐλαχίστα δὲ ἁ OE, καὶ & ἐλαχίστα ἴσα τᾷ ὑπερ- οχᾷ. ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι τινὲς γρομμαὶ αἵ ἀπὸ τοῦ 6 ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ κύχλου ποτιπιπτούδσαι τῷ βὲν πλήθει ἴσαι ταύταις, τῷ δὲ μεγέθει ἑκάστα ἴσα τῷ μεγίστα, καὶ ἀναγεγραφόάται ἀπὸ πασᾶν ὁμσίοι vo- μέες, ἀπό τε τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπορεχουαᾶν καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσῶν ἀλλάλαις τε καὶ τῷ. μεγίστᾳ. οὗ ἄρα τομέες οἵ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστα ἐλασσόνες ἐντὶ ἢ ἐριπλασίοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν' ὑπερεχουσᾶν. δοδείκται γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ οἵ μὸν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαιρ τε καὶ τᾷ μεγέφταᾳ ἴσοι τῶ AZHI κύκλῳ, οἵ δὲ τομέες oí ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν ἴσοι τῷ περιγεγραμμένο» δχήματι. ἐλάσσων ἄρα ὁ AZHI κύκλος τοῦ περι- γεγραμμένου σχήματος ἢ τριπλασίων" τοῦ δὲ Q κύχλου τριπλασίων. ἐλάσσων ἄρα ὁ α κύκλος τοῦ περιγεγραμ- μένου σχήματος. οὔκ ἐστι δέ, ἀλλὰ μείξων. οὐκ ἄρα ἐστὶν τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς 4ΒΓΖΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς 4€ ἔλασσον τοῦ α χωρίου.

οὐδὲ τοένυν μεῖξον. ἔστω γάρ, εἶ δυνατόν, μεῖξον. ἔστι δὴ πάλιν δυνατὸν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τᾶς 4ΒΓΖ ΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς 46 εὐϑείας ἐγ- γράψαι σχῆμα, ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ ἐγγρα- φέντος σχήματος μεῖξον εἶμεν ἐλάσσονι, ἢ ᾧ ὑπερέχει τὸ εἰρημένον χωρίον τοῦ Q κύχλου. ἐγγεγράφϑω δή,

1. ἐλαχίστα) (prius) scripsi; ελασσων F, uulgo; ἃ. Quaest. Arch. p. 138. 2. αἴ] addidi; om. F, uulgo. 6. ἀναγεγρα- gres] seripsi; αναγεέγραπται F, uulgo; defendit Ahrens: de gr. ling lI p. 888. πασων b; eorr V. 9. αλλαῖλα F. 14. AZHI] scripsi; 4ZHIK F, uulgo; ,afgi* Cr. 19. χωρίου] κύκλου Torellius. 20. κα΄ F. 23. 4BI'40 Ἐς corr. To- rellius

DE LINEI8 SPIRALIBUS. 108.

rum maxima est 9,4, minima autem 6 E, et minima excessul aequalis est. sed etigm aliae lineae sunt, eae scilicel, quae a puncto Θ᾽ ad circulj ambitum due- iae sunt, numero illis aequales, magnitudine autem singulae aequales maximae, et in omnihus similes, Seelores construcii suni, ei in iis, quae aequali spatio inier se excedunt, et in iis, quae inter se ei maximae aequales sunt. seclores igitur in lineis maximae agqua- libus consiructi minores sunt, quam ixiplo maiores sectoribus in lineis aequali spatio inter se excedenti- bus constructis. hoc enim demonstratum est [prop. 10 eoroll. 3]. sed sectores in lineis inter se eb maximae aequalibus consiructi aequales sunt circulo AZHI, seckores autem in lineis aequali spatio inter se exce- dentibus constructi aequales sunt figurae cireumscrip- iae, itaque circulus 4Z HI minor est quam triplo maior figura circumscripta; circulo autem 4 triplo maior esi. itaque circulus q minor est figura circum- scripla. erat antem non minor, sed maior. quare apalium comprehensum spirali 4 ΓΖ EO et linea 409 minus non est spabio G.

sed ne. maius quidem est. sit enim, si fieri pot- esí, maius. ilaque rursus fieri potest, ub spatio com- prehenso spirali 4BI'EO ei linea 4 figura in- scribatur, ita ut. spatium, quod commemorauimus, figuram inscriptam excedat spatio minore, quam quanto spatium illud circulum α excedit [prop. 21 coroll.].

1) Lineas ΘῈ, ΘΖ, € I', ΘΒ cett. aequali spatio inter se excedere, adparet ex prop. 12, quia angulos aequales faciunt. lineam &utem 6 E excessui aequalem esse, siue ΘΕ - £6 4,

sequitur ex prop. 1; nam cum anguli aequales sint, tempus tempore duplo maius est.

104 ΠΕΡῚ EAIKSNN.

καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν συγκείται τὸ ἐγγεγραμ- μένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ G PE, ἐλάχιστος dh ὁ ΟΘΕ. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα μεῖ- ξόν ἐστι τοῦ G xvxAov. ἐκβεβλήσθωσαν δὴ αἱ ποιού- σαι τὰς ἴσας γωνίας ποτὶ τῷ €, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πεσῶντι. πάλιν οὖν ἐντί τι- veg γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι αἴ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι, ὧν ἐστι μεγίστα μὲν & ΘΑ͂, ἐλαχίστα δὲ ἃ OE, καί ἐστιν ἃ ἐλαχίστα ἴσα 10 τᾷ ὑπεροχᾷ. ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἵ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ AZHI κύκλου περιφέρειαν ποτι- πιπτούσαι τῷ μὲν πλήϑει ἴσαι ταύταις, τῷ δὲ μεγέ- ϑει ἑδκάστα ἴσα τᾷ μεγίστᾳ, καὶ ἀναγεγραφόνται ἀπὸ πασᾶν ὁμοίοι τομέες ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ- ἐχουσᾶν. οἵ ἄρα τομέες οἵ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίστα μειξόνες ἐντὶ ἢ τριπλα- 25 σίοι τῶν τομέων τῶν ἀπὸ r&v τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-

ἐχουσῶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας. δεδείκται γὰρ

τοῦτο. ἐντὶ δὲ οἱ μὲν τομέες οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ

μεγίστᾳ ἴσοι τῷ AZHI κύκλῳ, ol δὲ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ

ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ἴσοι

Θι

2. ἐλάχιστος] B; ελασσων F, uulgo. 8. OG E] scripsi; ΘῈ F, uulgo; 9 EO Torellius. οὖν] per comp. F. 071]

DE LINEIS SPIRALIBUS. 105

inseribatur igitur, ei sectorum, ex quibus composita est figura inscripta, maximus sit 9 PX, minimus autem OG E. adparel igiiur, figuram inscriptam maiorem esse circulo 4.7 producantur igitur lineage ad punctum 6 aequales angulos efficientes usque eo, ut ad amb- itum circuli perueniant. rursus igitur lineae quaedam sunt aequali spatio inter se excedentes, eae scilicet, quae à puncto Θ ad spiralem ductae sunt [prop. 12], quarum maxima est 64, minima autem 6 E, et mi- nima excessui aequalis est [p. 103 not. 1]. et prae- lerea aliae quoque lineae sunt, quae a puncto Θ ad ambitum cireuli 4ZHI ductae sunt, numero illis ae- quales, magnitudine autem singulae maximae aequales, et in omnibus sectores similes construetli sunt, οὖ in lis, quae inter se el. maximae aequales sunt, et in iis, quae aequali spatio inter se excedunt. sectores igitur in lineis maximae aequalibus consirucli maiores sunt quam triplo maiores sectoribus in lineis aequali spatio inter se excedentibus consiructis praeter sectorem in maxima constructum. hoc enim demonstratum est [prop. 10 coroll]. sed sectores in lineis maximae aequalibus eonstructi aequales sunt circulo A4ZHLI, sectores autem in lineis aequali spatio inter se ex- cedentibus construcli praeter sectorem in maxima con-

1) Sit. figura inscripta f, spatium illud E; erit ex hypo- thesi E —f«E—qQ»:f3.

om. F'; corr. B. 5. τῷ] scripsi; vo F, uulgo. 7. αἴ] ad- didi; om. n uulgo. 8. o» F, uulgo. 11. ἄλλαι τινές Το- rellius. αἴ &ddidi; om. F, uulgo. 17. ἀναγεγραφάται B. 29. ἀπό) ὕπο F; corr. Torellius.

106 ΠΕΡῚ EAIKQN.

τῷ ἐγγεγραμμένῳ σχήματι. μείξων ἄρα ὁ AZHI κύ- κλος ἢ τριπλασίων τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήμαψος᾽ τοῦ ὃὲ ᾳ κύκλου τριπλασίων. μείξωην ὥρα ἐστὶν ὁ Q κύ- xAoc τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος. οὔκ ἐστι. δέ, ἀλλὰ ἐλάσσων. οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ μεῖξον τὸ χωρίον τὸ ὑπό τὸ τᾶς 4ΒΓΖ ΕΘ ἕλικος καὶ τᾶς 460 εὐϑείας τοῦ α, κύκλου. ἴσον ἄρα ἐστὶν [τῷ περιλαφϑέντι ὑπὸ vüg ἕλικος καὶ τᾶς 46 εὐϑείας].

Q

I4

κε΄.

10 Τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό τε τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς δευτέρας τᾶν ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς ποτὶ τὸν δεύτερον κύκλον τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει τὰ ξ΄ ποτὶ τὰ ιβ΄, ὅς ἐστιν ὃ αὐτὸς τῷ, ὃν. ἔχει và συν-

15 ἀμφότερα τό τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τῶς ἐκ τοῦ κέντρου ποῦ δευτέρου κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρον τοῦ πρώτου 'κύχλου καὶ τὸ τρέτον μέρος τοῦ τεπραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, à ὑπερέχει & ἐκ τοῦ κένερου ποῦ δευτέρου κύχλου τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ πρώτου

80 κύκλου ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέν- τρον τοῦ Ósvrégor κύκλου.

ἔστω ἕλιξ, ἐφ᾽ ἃς & ABIDE, ἐν τᾷ δευτέρᾳ περι- φορᾷ γεγραμμένα. ἔσσω δὲ τὸ μὲν Θ σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος,) ἃ 0b OE εὐθεῖα ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περι-

25 ῳορᾶς X πρώτα, & δὲ 4Ε ἐν τᾷ ἀρχᾷ τᾶς περιφορᾶς & δευτέρα, ὃ δὲ κύκλος ὁ AZHI ὁ δεύτερος ἔστω, καὶ αἱ 4H, IZ διαμέεροι ποτ᾽ ὀρϑὰς ἀλλάλαις. Ótx- τέον, ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε v&c ABIAE

e. ABHEO F. 7. ἴσος Torellius; sed de spatio agitur, non de circulo; quare retinendum ἔσον (comp. F) et delenda

mE -— ——- —À m

DE LINEIS SPIRALIBUS. 107

sirucbum. aequales sunt figurae inseriptae. itaque cir- culus 4ZHI maior est quam triplo maior figura in- seripéa; sed circulo 4 triplo maior est. quare circulus G maior esi figura inscripta. sed maior nom est, uerum. minor. itaque ne maius quidem cireulo 4 erit spatium comprehensum spirali 4BI'^4EO οἱ linea 4409. itaque aequale est.

XXV.

Spatium comprehensum spirali secunda circum- aelione descripta et linea secunda earum, quae in principio circumactionis sunt, ad circulum secundum eam habet rationem, quam 7:12, quae eadem est ratio, quam habet rectangulum comprehensum radio secundi circuli e£ radio primi una cum tertia parte quadraii eius excessus, quo radius secundi circuli ra- dium primi excedit, ad quadratum radii secundi circuli.

sit spiralis, in qua sib 4BI'/E, secunda circum- aclione descripta. et punctum 6 principium sii spi- ralis, linea autem 9 E prima earum, quae in principio circeumaclionis sunt, 4E autem secunda; et circulus AZHI seeundus st, et 4H, IZ diameir inter se perpendiculares, demonstrandum, spatium spirali

uerba τῷ περιλαφϑέντι.. εὐϑείας lin. T1—8; om. Cr. 9. «£' F. 10. τὸ περιλωφϑέν] addidi; om. Εἰ, uulgo. 16. δευ- τέρου] B F; et sic saepius infra (uelut lin. 17, 19 bis, 21).

27. προς (comp.) ορϑας αλληλαις F; corr. Torellius.

108 ΠΕΡῚ EAIKSN.

ἕλικος καὶ τᾶς AE εὐθείας ποτὶ τὸν AZHI κύκλον λόγον ἔχει, ὃν τὰ ξ΄ ποτὶ ιβ΄. ἔστω δή τις κύκλος ὃ α, & δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ α κύχλου δυνάμει ἴσα τῷ τε ὑπὸ τᾶν 4O, OE περι- δ ἐχομένῳ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς AE τετρα- γώνου. ἕξει δὴ ὁ α κύχλος ποτὶ τὸν AHZI, ὡς ζ΄ ποτὶ ιβ΄, διότι καὶ & ἐκ τοῦ κέντρου αὐτοῦ ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ AZHI κύκλου τοῦτον ἔχει δυ- νάμει τὸν λόγον. δειχϑησέται οὖν ἴσος ὃ ἃ κύκλος τῷ περιεχομένῳ χωρίῳ ὑπό τε τᾶς 4 ΒΓΖ E ἕλι- κος καὶ τᾶς 4Ε εὐϑείας. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείξων ἐστὶν ἢ ἐλάττων. ἔστω δὴ πρότερον, εἰ δυνατόν, μεέξων. δυνατὸν δή ἐστι περὶ τὸ χωρίον περι- γράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγ- 20 κείμενον, ὥστε τὸ περι- γραφὲν σχῆμα μεῖξον εἷ- μὲν τοῦ χωρίου ἐλάσσονι, ἢ ᾧ ὑπερέχει ὁ Q κύ- κλος τοῦ χωρίου. περι- 25 γεγράφϑω, καὶ ἔστω, ἐξ ὧν συγκείται τὸ περιγεγραμ- μένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ 6.4 K τομεὺς, ἐλάχιστος δὲ ὁ 604. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγραφὲν σχῆμα ἔλαττόν ἐστι τοῦ κύκλου. ἐκβεβλήσϑωσαν αἷ εὐϑείαι αἷ ποιούσαι ποτὶ τῷ Θ ἴσας γωνίας, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ τὰν

2. πρὸς per comp. F; corr. Torellius. 8. 4] 5 semper ed. Basil., Torellius. δ. προς per comp. Εἰ; corr. Torelhus.

DE LINEIS SPIBALIBUS. 109

ABIAE et lineà 4E comprehensum ad circulum AZHI eam rationem habere, quam ' : 12.

sib igitur circulus quidam 4, et radius eius qua- dratus sib —— 40». ΘΕ - 14 E?. itaque circulus ἃ ad circulum 4H ZI eam rationem habebit, quam ἴ: 12, quia radius eius quadratus ad radium circuli AZ HI quadratum hanc rationem habet [Eucl XII, 2]. de- monsirabimus igitur, circulum 4 aequalem esse spatio comprehenso spiral ΑΒΓΔΕ ei linea 4E. nam si aequalis .non est, aut maior est aut minor. sil igitur, Si fieri potest, prius maior. fieri igitur potest, ut cir- eum spalium cireumscribatur figura plana ex simili- bus sectoribus composita, ita αὖ figura circumscripta spatium excedat spalio minore, quam quanto circulus ἃ spatium excedit [prop. 22]. circumscribatur, οὐ [sec- torum], ex quibus composita esi figura circumsceripíia, maximus sibi 64K, minimus autem 90. adparet igitur, figuram cireumscriptham minorem esse circulo [p. 101 not. 1]. producantur lineae ad punctum 6 aequales angulos efficientes, usque eo ut ad ambitum

1) Nam 40;».«ΘῈ -- 4E? : 40* — 20E! -- 40E? : 4OE? -ὦ 6095 -ἰ 0E!:120 E? — 7:12, quia OE — 4E; nam sit ambitus circuli primi p; erit ex prop. 15: ΘΕ: Θ4-α|: 3}.

— —

ut lin. 7 bis. 28. περεχεε F. — 26. ἔστω τῶν τομέων Torel-

lius. 28. τοῦ Qq κύκλου Nizzius. 29. τῷ] scripsi; ro F,

uulgo. In figura O, 41 cum F' posui; sed pro 4f posui 4, et didi.

110 ΠΕΡῚ EAIKQN.

φροῦ δευτέρου κύκλου περιφέρειαν πεσῶντι. ἐντὶ δή τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι αἱ ἀπὸ “φοῦ Θ «ori τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι, ἂν ἐστε μεγίστα μὲν ἃ ΘΑ͂, ἐλαχίστα δὲ ἃ OE. ἐντὶ δὲ xol ἄλλαι

δ γράμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ AZHI κύκλου

σεδριφέροιαν ποτιπιπτούσαι, τῷ μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλασ- -“σόνες ταυτᾶν, τῷ δὲ μεγέϑει ἀλλάλαις τε ἴσαι καὶ τᾷ μεγέστα, xal ἀναγεγφαφάται ὁμοίοι τομέες ἀπὸ τᾶν ἐσᾶν τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ-

10.δχουσῶν, ἀπὸ δὲ τῶς ἐλαχίστας οὐκ ἀναγραφέται. οἵ

15

20

25

“ὥρα τομέες οἵ ἀπὸ τῶν ἰσᾶν τῷ μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς co- 'μέας τοὺς ἀπὸ r&v τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χω- -glg τοῦ ὠκὸ τᾶς ἐλαχίστας ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι, ἢ 'τὸ 'νετρώγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μεγίστας τᾶς € 4 πατὶ τὰ “συναμφότερα τό τε ὑπὸ τῶν 40, ΘΕ περιχόμενον καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΑ τετραγώνου. δε- δείκπαι γὰρ τοῦτο. ἐντὶ δὲ τοῖς μὲν τομέεσσι τοῖς ἀπὸ τῶν ἰσᾶν ἀλλάλαις καὶ τᾷ μεγέστᾳ ἴσος ὁ AZHI κύ- xÀog, τοῖς δὲ τομέεσσι τοῖς ἀπὸ vüv τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας ἴσον τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα. ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ὃ κύκλος ποτὶ τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα, ἢ τὸ τετρά- yovov τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΘ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τῶν 40, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς AE τετραγώνου. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ τετρά- γωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ͂, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς 4 E τετραγώνου, τοῦτον ἔχει ὁ AZHI κύκλος ποτὶ τὸν Q κύκλον. ἐλάσσονα

8. ποτιπιπτουσιν ἘΠ: corr. B. ων F, uulgo. 5. ποτί]

Beripsi; ez, F, uulgo. 6. sace cum comp. o» FE; corr. To- rellius; ἐλάσσους B. 7. ταυτᾶν] scripsi; εαυταν F, uulgo.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 111

circuli secundi perueniant. sunt igitur lineae quaedam aequali spatio inter se excedentes [prop. 12], eae sci- lieet, quae ἃ puncto Θ ad spiralem ductae sunt, qua- rum maxima est 6,4, minima autem € E. sed etiam aliae lineae sunt, quae ἃ puncto Θ᾽ ad ambitum cir- euli 4ZHI ductae sunt, numero una pauciores illis, magnitudine autem οὖ inter se et maximae aequales, ei construcli sunt sectores similes in lineis maximae aequalibus et in iis, quae aequali spatio inter se ex- cedunt, in minima autem nullus constructus est. iía- que seciores in lineis maximae aequalibus constructi ad sectores in lineis aequali spatio inter se excedenti- bus eonstructos praeter sectorem in minima consiruc- ium minorem rationem habent, quam habet 64?: 409 5« € E - 4 E A*. hoc enim demonstratum est [prop. 11 coroll]. sed secioribus in lineis inter se οὗ maximae aequalibus construclis aequalis est circulus 42.811, sectoribus aulem in lineis aequali spatio inter se excedentibus consiruclis praeter seclorem in minima constructum aequalis est figura circumscripta. itaque circulus [4ZHI] δὰ figuram circumscriptam minorem rationem habet, quam 405 : 40 5« ΘΕ - 1.4.3. est autem AZHI:G8—045:042«0E--$44E* [πο]. V, 1 πόρισμα]. quare circulus 4ZHI ad figu-

ἀλλάλαις} λαι supra scriptum manu 1 F. 8. ἀναγεγράφονται Torellius. 10. ἀαναγραψεται F. 19. αλλαν F. 4. με- γέστας] p supra scriptum manu 1 F. 17. τομέεσσι] scripsi; τομεσσι F; τομέσι ed. Basil,, uulgo; τομεῦσι Torellius. 18.

αλλαλας F; cor A. — AZH F; corr. B. 19. copscu Εἰ; το- μεῦσι Torellius. 21. ὁ κύκλος AHZI (debuit ó 4HZI xv- xlog) Torellius; habet Cr. 236. Θ E] scripsi; 48 F; 4E uulgo. 28. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius.

112 ΠΕΡῚ EAIK9N.

ovv λόγον ἔχει ὁ AZHI κύκλὸς ποτὶ τὸ περιγεγραμ- μένον σχῆμα ἢ ποτὶ τὸν Q κύκλον. ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν ὁ Q κύκλος τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος. οὔκ ἐστι δέ, ἀλλὰ μείξων. οὐκ ἄρα μείξων ἐστὶν ὁ Q κύ- κλος τοῦ χωρίου τοῦ περιεχομένου ὑπό τε τᾶξ ΑΒΓΔΕ ἕλικος καὶ τᾶς AE εὐϑείας.

οὐδὲ τοίνυν ἐλάσσων. ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ἐλάσ- σων. πάλιν οὖν δυνατόν ἐστιν εἰς τὸ χωρίον τὸ περιεχόμε- νον ὑπό τε τᾶς ἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐϑείας ἐγγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ ὁμοίων ά rouéov συγκείμενον, ὥστε τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε ví; 4BIAE ἔἕλικος καὶ τᾶς ΑΕ εὐϑείας μεῖξον εἶμεν τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήματος ἐλάσσονι, ἢ ᾧ ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χωρίον τοῦ α χύκλου. ἐγγεγράφϑω οὖν, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν συγκείται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα, μέ- γιστος μὲν ὁ ΘΚΡ cousvs, ἐλάχιστος δὲ ὃ ΘΕΟ. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγγεγραμ- μένον σχῆμα μεῖξόν ἐστι τοῦ α κύκλου. ἐκβεβλήσϑω- σαν αἱ ποιούσαι ἴσας γωνίας ποτὶ τῷ Θ, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν πεσῶντι. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι, ἂν μεγίστα μὲν ἃ ΘΑ, ἐλαχίστα δὲ ἃ ΘΕ. ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμ-

---- —

e

2

οι

7. κη΄ F. 838. ΘΧΡῚ supra scriptum X manu, πὲ uide-

DE LINEIS SPIRALIBUS. 118

ram circumscriplam minorem rationem habet quam ad circulum Q. quare circulus ἃ minor est figura cireumscripta [Eucl. V, 10]. sed non est minor, uerum maior. itaque circulus G maior non est spatio com- prehenso spirali 4BI'4E et linea AE.

sed ne minor quidem est. sit enim, si fieri pot- esti, minor. rursus*igitur fieri potest, αὖ spatio com- prehenso spirali et linea 4E figura plana inscribatur ex similibus sectoribus composita, ita ut spatium com- prehensum spirali 4BI'E eti linea AE figuram in- scriplam excedat spatio minore, quam quanto idem spatium circulum ἃ. excedit [prop. 22 coroll]. inscri- batur igitur, et sectorum, ex quibus figura inscripta composita esi, maximus sit 9 K P, minimus autem 6 EO, adparet igitur, figuram inscriptam maiorem esse cir- culo 4 [p. 105 not. 1]. producantur lineae ad punctum Θ᾽ aequales angulos efficientes usque eo, ut ad amb- itum circuli perueniant. rursus igitur lineae quaedam sunt aequali spatio inter se excedentes, eae scilicet, quae a puncto Θ ad spiralem ductae sunt [prop. 12], quarum maxima esí 9,4, minima autem E. sed

— ———— —— .

tur, 1 F. 26. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. τῷ] scripsi; ro F, uulgo. 29. o» F, uulgo.

Archimedes, ed. Heiberg. II. 8

σι

10

16

20

25

114 ΠΕΡῚ EAIKQSN.

meal αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ κύκλου περιφέρειαν ποτιπιπτούσαι τῷ μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλάσσους ταυτᾶν, τῷ δὲ μεγέϑει ἴσαι ἀλλάλαις τε καὶ τῷ μεγέστᾳ, καὶ

ἀναγεγραφάται ἀπὸ τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν .

ὁμοίοι τομέες καὶ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τῷ μεγίστᾳ. οἱ ἄρα τομέες οἵ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν τᾷ μεγίσταᾳ ποτὶ vovg τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας μείζονα λόγον ἔχοντι, ἢ τὸ vevgd- γῶνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν 40, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον τοῦ ἀπὸ vt&g E. τετραγώνου. ἔστιν δὲ τοῖς uiv τομέεσσιν τοῖς ἀπὸ τῶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας ἴσον τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα ἐν τῷ χωρίῳ, τοῖς δὲ ἑτέροις ὁ κύκλος. μείξονα οὖν λόγον ἔχει ὃ AZ HI κύκλος ποτὶ τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα, ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ τὸ ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ τρέτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς 4E τετρα- γώνου, τουτέστιν ó 4ΖΗ1 κύκλος ποτὶ τὸν Q χύκλον. μείξων ἄρα ἐστὶν ὁ ἡ κύκλος τοῦ ἐγγεγραμμένου σχή- ματος᾽ ὅπερ ἀδύνατον: ἦν γὰρ ἐλάσσων. οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ Q κύκλος τοῦ περιεχομένου χω- ρίου ὑπό τε τᾶς 4ΒΓΖ Ε ἔλικος καὶ τᾶς 4Ε εὐϑείας. ὥστε ἴσος.

ΠΟΡΙΣΜΑ. διὰ δὲ τοῦ αὐτοῦ τρόπου δειχϑησέται. καὶ διότι τὸ περιλαφϑὲν χωρίον ὑπό vs τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας καὶ τᾶς εὐθείας τᾶς κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριϑμὸν ταῖς περιφοραῖς λεγομένας

2. μιὰν F; corr. ΒΡ, ταυτᾶν] scripsi; ταυτη F; αὐτῇ AB, ed. Basil.; pd Torellius. 8. αλληλαις F. — 4. ἀναγεγράφονται

DE LINEIS SPIRALIBUS. 115

eliam aliae lineae sunt, quae a puncto € ad ambitum eireuli ductae sunt, numero ung pauciores illis, magni- ludine autem et inter se ei maximae aequales, οὖ sec- tores similes constructi sunt οὖ in lineis aequali spatio inter se excedentibus ei in lineis maximae aequalibus. ilaque sectores im lineis maximae aequalibus constructi ad sectores in lineis aequali spatio inter se exceden- libus constructos praeter sectorem in maxima con- siructum maiorem rationem habent, quam 0 f : 460 5« GE -- 1 4 [prop. 11 coroll]. seetoribus autem in lineis aequali spatio inter se ex- cedentibus construelis praeter sectorem in maxima constructum aequalis est figura spatio inscripta, alteris autem circulus. itaque circulus 4ZHI ad figuram inseriptam maiorem rationem habet, quam 40*:094»«0E -- 1585,

h. e. quam A4ZHI:34 [ex hypothesi] itaque circulus q maior est figura inscripta [Eucl. V, 10]; quod fieri non potest; erat enim minor. itaque circulus G me minor quidem est spatio comprehenso spirali ABIA E et linea 4E. quare aequalis est.

COROLLARIUM.

. Eadem autem ratione demonstrabimus, etiam spa- lium comprehensum spirali qualibet circeumactione de- scripta et linea eodem numero nominata, quo circum- actiones, ad circulum nominatum eodem numero, quo

Torellius. 10. ὑπο] scripsi; ὑπὸ ve F, uulgo. τρίτον μέρος

B, Torellius. li. τομευσιν F, uulgo. 13. ἀπό) ὕπο F;

fom. Torellius. 16. προς per comp. F; corr. Torellius, ut

18. τἂν] cov pe r comp. F; corr. Torellius. 19. μει-

for. 25. διότι] ὅτι Nizzius. 928. ' xoc] scripsi; zov: F, uulgo. &*

10

15

20

26

116 ΠΕΡῚ EAIKO9NN.

ποτὶ τὸν κύκλον τὸν κατὰ τὸν αὐτὸν ἀριϑμὸν Asyó- μενον ταῖς περιφοραῖς λόγον ἔχει, ὃν συναμφότερον τό τε ὑπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν αὐτὸν ἀρυιϑμὸν κύκλου καὶ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κατὰ τὸν ἑνὶ ἐλάσσονα τᾶν περιφορᾶν Asyouévov καὶ τὸ τρίτον μέφος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ vüg ὑπεροχᾶς, & ὑπερ- ἔχει ἃ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείξονος κύκλου τῶν εἰρη- μένων τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τῶν εἰρημένων ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ μείξονος κύκλου τῶν εἰρημένων.

,

xe.

Τὸ περιεχόμενον χωρίον ὑπό τε τᾶς &Auog, & ἐστιν ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμμένας, οὐκ ἐχού- δας πέρας τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος καὶ τᾶν εὐϑειὰν τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων αὐτᾶς ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγμέναν ποτὶ τὸν τομέα τὸν ἔχοντα τὰν μὲν ἐκ τοῦ κέντρου ἴσαν τῷ μείξονι τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγμέναν, τὰν δὲ περιφέρειαν, & ἐστι μεταξὺ τᾶν εἰρημέναν εὐθειᾶν ἐπὶ τὰ αὐτὰ τᾷ ἕλικι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε περιεχόμενον ὑπὸ τᾶν ἀπὸ τῶν περάτων ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἀγμέναν καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ τετραγώνου τοῦ ἀπὸ τᾶς ὑπεροχᾶς, ᾧ ὑπερέχει & μεί- fov τᾶν εἰρημέναν εὐϑειᾶν τᾶς ἐλάσσονος, ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς μείξονος τᾶν ἀπὸ τῶν περά- τῶν ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος ἐπιξευχϑεισᾶν.

ἔστω ἕλιξ, dp! ἄς ἃ 4ΒΓΖΕ, ἐλάσσων τᾶς ἐν μιᾷ περιφορᾷ γεγραμμένας, πέρατα δὲ αὐτᾶς ἔστω τὰ

4. τὸν É»(] scripsi; τὰ μὲν svi F; μὲν svi C*D; μενε V; τα μὲν À, ed. Basil; τῷ μὲν ἑνί B*, Torellius. 8. vag

DE LINEIS SPIRALIBUS. 117

eircumacliones, eam rationem habere, quam rectan- gulum comprehensum radio circuli eodem numero nominati et radio circuli numero uno minore, quam numerus cireumactionum est, nominati simul cum: leriia parie quadrati eius excessus, quo radius circuli maioris radium circuli minoris eorum, quos commemo- rauimus, excedit, ad quadratum radii cireuli maioris eorum, quos commemorauimus.

XXVI.

Spatium comprehensum spiralij quae minor est .Spirali una circumactione descripta, et cuius terminus non est principium spiralis, et lineis a terminis eius ad principium spiralis ductis ad sectorem, cuius radius aequalis es& maiori linearum a terminis ad principium spiralis ductarum, arcus autem arcui inter lineas illas posito ad eandem partem uersus, in qua est spiralis, eam rationem habet, quam habet rectangulum lineis ἃ lerminis ad principium spiralis ductis comprehensum simul cum terlia parte quadrati eius excessus, quo maior linearum, quas commemorauimus, minorem ex- cedit, ad quadratum maioris linearum a terminis ad principium spiralis ductarum.

sib spiralis, in qua sit 4BI'/ E, minor spirali una eireumaciione deseripia, et iermini eius sint ^, E.

ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τῶν εἰρημένων mg. F manu 1, adposito signo x/, quo ad suum locum referantur; om.

ed. Basil. 11. «9 F, 16. rov (comp.) περατος P; corr. Torellius. 20, ἐστι τα FV; fort. scrib. περιφέρειαν ἴσαν cq μεταξύ. 25. τῶν (comp.) εἰρημενῶν ευϑειων F; corr. To-

rellius.

118 ΠΕΡῚ EAIKO9N.

4, E. ἔστω δὲ ἀρχὰ τᾶς ἕλιιος τὸ O δαμεῖον. καὶ κέντρῳ μὲν vo Θ, διαστήματι δὲ τῷ ΘΑ͂ κύκλος γε- γράφϑω, καὶ συμπιπτέτω τᾷ περιφερείᾳ αὐτοῦ ἃ ΘΕ κατὰ τὸ Z. δεικτέον, ὅτι τὸ περιεχόμενον χωρίον 5 ὑπό τε τᾶς ΑΒΙΓΖΕ ἕλικος καὶ τᾶν εὐϑειᾶν τᾶν 4Θ, ΘΕ ποτὶ τὸν τομέα τὸν 4ΘΖ τοῦτον ἔχει τὸν λόγον, ὃν ἔχει συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν 4Θ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ ποτὶ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂. | 10 ἔστω δὴ κύκλος, ἐν ᾧ QX, τὰν ἐκ τοῦ κέντρου ἔχων ἴσαν δυνάμει τῷ τὲ ὑπὸ τᾶν 4Θ, ΘΕ καὶ τῷ τρίτῳ μέρει τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ, ποτὶ δὲ τῷ κέντρῳ αὐτοῦ γωνία ἴσα τᾷ ποτὶ τῷ Θ. ὁ δὴ τομεὺς ὁ αΧ ποτὶ τὸν τομέα τὸν Θ4Ζ τὸν 1ὅ ᾿αὐτὸν ἔχει λόγον, ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ τῶν 40, OE καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετραγώνου ποτὶ τὸ ἀπὸ τᾶς O 4 τετράγωνον᾽ at γὰρ ἐκ τῶν κέντρων τοῦτον ἔχοντι τὸν λόγον δυνάμει ποτ᾿ ἀλλάλας. δειχϑησέται δὴ ὁ Χα τομεὺς ἴσος ἐὼν τῷ χωρίῳ τῷ περιεχομένῳ ὑπό τὸ τᾶς 4ΒΓΖ Ε ἕλικος καὶ τᾶν 4Θ, OE εὐϑειᾶν. εἰ γὰρ μή, ἤτοι μείξων ἐστὶν ἢ ἐλάττων. ἔστω δὴ πρό- τερον, εἰ δυνατόν, μείξων. δυνατὸν οὖν ἐστι περὶ τὸ

2. τῷ} (bis) vo F; eorr: Torellius. 12, τῷ] scripsi cum BC*D; ro F, uulgo. κέντρον À, ed. Basil., Torellius.

DE LINEIS SPIRALIBUS. 119

principium aulem spiralis sib € punctum. οὐ descri- batur circulus, euius centrum sib 9, radius autem 6&4, ei linea 6E in ambitum eius incidat in puncto Z. demonstrandum, spatium comprehensum spirali 4BI E οὐ lineis 440, 6 E ad sectorem 40Z eam habere ra- lionem, quam 40 »« ΘΕ -- EZ? : 6 45.

sit igitur cireulus, in quo sit α X, cuius radius qua- dratus aequalis sit 40 »« ΘΕ - 4 EZ?, et ad centrum eius angulus ponatur aequalis angulo ad € posito. itaque seclor GX ad sectorem Θ.4Ζ eandem rationem babet, quam 40 »« ΘΕ - 4EZ?:0.4*; nam radii quadrati hanc inter se rationem habent.) demonstra- bimus igitur, sectorem .XG aequalem esse spatio spi- rali 4BI'E ei lineis 409, € E comprehenso. nam sl aequalis non est, aut maior est aui minor. prius igitur, si fieri potest, maior sit. itaque fieri potest, πὸ cireum spatium, quod commemorauimus, figura

1) Nam sectores similes, siue quorum anguli aequales sunt, eam rationem habent, quam circuli; tum u. Eucl. XII, 2. cfr. Zeitschr. f. Math., hist. Abth. XXIV p. 181 nr. 14.

13. προς per comp. Εἰ; corr. Torellius. 21. eyovz, F. 28. ov F, uulgo. 27. ἐστίν] addidi; om. F, uulgo; post ἐλάττων in- seruit Torellius. 28. δή] scripsi; γαρ F, uulgo.

10

15

120 ΠΕΡῚ EAIK9NN.

εἰρημένον χωρίον περιγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ομοίων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ περιγραφόμενον σχῆμα μεῖξον εἶμεν τοῦ εἰρημένου χωρίου ἐλάσσονι, ἢ ἁλίχῳ ὑπερέχει ὁ QX τομεὺς τοῦ εἰρημένου χωρίου. περει- γεγράφϑω δή, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν συγκείταε τὸ περιγεγραμμένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ OAK, ἐλάχιστος δὲ ὁ OO. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ περιγεγραμ- μένον σχῆμα ἔλασσόν ἐστι τοῦ XG τομέως. διάχϑω- σαν δὴ «i εὐϑείαι αἵ ποιούσαι τὰς ἴσας γωνίας ποτὲ τῷ Θ, ἔστ᾽ ἂν ποτὶ τὰν περιφέρειαν τοῦ ΘΑ͂Ζ τομέως πεσῶντι. ἐντὶ δή τινὲς εὐθείαι τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερ- εχούσαι, αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι., ὧν ἐστι μεγίστα μὲν & ΘΑ͂, ἐλαχίστα δὲ ἃ ΘΕ. ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι εὐϑείαι τῷ μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλασσόνες ταυτᾶν, τῷ δὲ μεγέϑει ἴσαι ἀλλάλαις τὸ καὶ τᾷ με- γίστᾳ, αἱ ἀπὸ τοῦ Θ ποτὶ τὰν τοῦ 4ΘΖ τομέως περε-

᾿ φέρειαν ποτιπιπτούσαι χωρὶς τᾶς ΘΖ, καὶ ἀναγεγρα-

20

25

φάται ὁμοίοι τομέες ἀπὸ πασᾶν ἀπό τε τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ καὶ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν, ἀπὸ δὲ τῶς ΘΕ οὐκ ἀνα- γεγράπται. τομέες οὖν οἵ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ Tü μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς ἐλαχίστας τομέως ἐλάσσονα λόγον ἔχοντι, ἢ τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν 46Θ, ΘΕ καὶ τὸ τρί- τον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ τετραγώνου. ἔστιν δὲ τοῖς μὲν τομέεσσιν τοῖς ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ

6. μέγιστος] scripsi; μείζων F, uulgo. 64AH ed. Basil, Torellius (qui etiam in figura H pro K habent); 64K F, uulgo* T. ἐλάχιστος] scripsi; ελασσων F, uulgo. 8. διηγϑωσαν F, uulgo. 9. δὴ aí] scripsi; «f om. F', uulgo. 10. τῷ]

DE LINEIS SPIRALIBUS. 121

plana cireumscribatur ex similibus sectoribus com- posila, ita ut figura circumscripta spatium illud ex- ced&t spatio minore, quam quanto sector ἃ X spatium illud excedit [prop. 23] circumsceribatur igitur, et seclorum, ex quibus figura eircumscripta composita est, maximus sibi 90.4 K, minimus-autem 60. «^ad- paret igitur, figuram circumscriptam minorem esse seelore qX [p. 101 not. 1]. producantur igitur lineae aequales angulos ad punctum 6 efficientes usque eo, αὖ ad ambitum sectoris 9,4Z perueniant. sunt igitur lineae quaedam aequali spatio inter se excedentes, quae a puncto Θ ad spiralem ductae sunt [prop. 12], quarum maxim& esti 6.4, minima autem ΘΕ. sed etiam aliae lineae sunt, numero una pauciores illis, magnitudine autem et inter se el. maximae aequales, quae a puncto € ad ambitum sectoris 46Z ductae sunt, praeter ΘΖ, ei in omnibus lineis, ei iis, quae inter se e& maximae aequales sunt, et iis, quae aequali spatio inter se excedunt, similes sectores constructi sunt, in € E autem nullus constructus est. sectores igitur in lineis et inter se δὺ maximae aequalibus con- siírucli ad sectores in lineis aequali spatio inter se excedentibus constructos praeter sectorem in minima constructum minorem rationem habent, quam 094?: 409 5« ΘΕ -- EZ? [prop. 11 coroll].

sed sectoribus in lineis et inter se'et maximae aequa-

BCripsi; vo F, uulgo. 18. oy F', uulgo. 14. ελασσ cum comp. o» Εἰ, uulgo; corr. Torellius; ἐλάσσους B; ἐλάσσονι ed, 15. αλληλαις F; corr. Torellius, ut lin. 19. 17. &va-

γεγράφονται Torellius. 18. τομεῖς F, uulgo. 25. τό τε] scripsi; τα τὰ F, uulgo. 27. τομευσιν F, uulgo. αλληλαις

F; corr. Torellius. "

10

26

192 IIEPI ΕΛΙΚΩΝ,

v μεγίστᾳ ἴσος ὁ G.4Z, τομεύς, τοῖς δὲ ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν τὸ περιγεγραμμένον. ἐλάσ- dova οὖν λόγον ἔχει ὁ ΘΑΖ τομεὺς ποτὶ τὸ περι- γεγραμμένον σχῆμα, ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ τὰ συναμφότερα τό τε ὑπὸ τᾶν ΘΑ, ΘΕ καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΖΕ. ὃν δὲ λόγον ἔχει τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ. ποτὶ τὰ εἰρημένα, τοῦτον τὸν λόγον ἔχει ὁ OZ τομεὺς ποτὶ τὸν XQ τομέα. ὥστε ἐλάσσων ἐστὶν Ó XQ τομεὺς τοῦ περιγεγραμμένου σχήματος. οὔκ ἐστι δέ, ἀλλὰ μείξων. οὐκ ἄρα ἐσσείται ὃ XQ τομεὺς μείξων τοῦ περιεχομένου χωρίου ὑπό τὸ τᾶς ABDAE ἕλικος καὶ τἂν 40, ΘΕ εὐϑειᾶν.

οὐδὲ τοίνυν ἐλάττων. ἔστω γὰρ ἐλάσσων. καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ κατεσκευάσθω. πάλιν δὴ δυνατόν ἐστιν εἰς τὸ χωρίον ἐγγράψαι σχῆμα ἐπίπεδον ἐξ ὁμοίων τομέων συγκείμενον, ὥστε τὸ εἰρημένον χωρίον μεῖξον εἶμεν τοῦ ἐγ- γραφέντος δχήματος ἐλάσσονι, ἢ ἁλίκῳ ὑπερέχει τὸ αὐτὸ χω- ροίον τοῦ Χᾳ τομέως. ἐγ- γεγράφϑω οὖν, καὶ ἔστω τῶν τομέων, ἐξ ὧν συγκείται τὸ ἐγγεγραμμένον σχῆμα, μέγιστος μὲν ὁ OBH, ἐλάχιστος δὲ ὁ ΟΘΕ. δῆλον οὖν, ὅτι τὸ ἐγ- γεγραμμένον δὄχῆμα μεῖζόν ἐστι τοῦ XQ τομέως. πάλιν οὖν ἐντί τινες γραμμαὶ τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχούσαι, αἱ ἀπὸ τοῦ

2. περιγεγραμμένον σχῆμα Torelius. ὅ. τό τε] to τε F. 8. Xq] X F; corr. Torellius, ut lin. 9. 10. soto; per comp.

3

DE LINEIS SPIRALIBUS. 123

libus eonstructis aequalis est sector 6 4Z, iis autem, qui in limeis aequali spatio inter se excedentibus 'con- siructi sunt, [figura] cireumsceripta. itaque sector 9 4Z ad figuram circumscripiam minorem rationem habet, quam 0,:045« 0E -ἰ 4ZE*. est autem 64:04» 0E -- 3ZE* —0AZ:Xa.

quare sector XQ minor est figura circumscripta [Eucl. V, 10]. sed minor non est, uerum maior. itaque sector X«q maior non erit spatio comprehenso spirali ABI'AE et lineis 40, ΘΕ.

sed ne minor quidem est. sit enim minor, ét cetera eadem comparentur. rursus igitur fieri potest, ul spatio inscribatur figura plana ex similibus sectoribus com- posita, ita ut spatium, quod commemorauimus, figuram inscriplam excedat spatio minore, quam quanto idem spatium sectorem XG excedit [prop. 28 coroll]. inscri- batur igitur, et sectorum, ex quibus figura inscripta com- posita est, maximus sii 9B H, minimus autem OO E. adparet igitur, figuram inscriplam maiorem esse sec- iore Xa [p. 105 not. 1]. rursus igitur lineae quaedam sunt aequali spatio inter se excedentes, quae a puncto

F, uulgo. 18. λ΄ F. γάρ, εἰ δυνατόν Torellius. 19. ελασ- σον Fb corr. B*. 24. μέγιστος] scripsi; μειξων F, uulgo

26. ΘΒΙ' ἘΠ, vuulgo* (eliam in figura I' pro H); GBX ed. Basil; corr. Torellius. ἐλάχιστος scripsi; e4acco» F, uulgo. 26. GE EF. γεγραμμενον F; corr. BD. 28. Xq] scripsi; X F, uulgo. 239. oí] om. Εἰ; corr. Torellius.

eO

10

1

b

20

2

ex

124 ΠΕΡῚ EAIKESNN.

Θ ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτούσαι., ὧν ἐστι μεγίστα μὲν & Gf, ἐλαχέστα δὲ & ΘΕ. ἐντὶ δὲ καὶ ἄλλαι γραμμαὶ αἱ ἀπὸ τοῦ € ποτὶ τὰν τοῦ € AZ τομέως περιφέρειαν ποτιπιπτούσαι χωρὶς τᾶς ΘΑ͂ τῷ μὲν πλήϑει μιᾷ ἐλασ- σόνες τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν, τῷ δὲ με- γέϑει ἀλλάλαις τε καὶ τῷ μεγίστα ἴσαι, καὶ ἀναγεγρα- φάται ἀπὸ ἑκάστας ὁμοίοι τομέες, ἀπὸ δὲ τᾶς μεγέστας τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλάλαν ὑπερεχουσᾶν ovx ἀναγεγράπται. oí τομέες οὖν οἱ ἀπὸ τᾶν ἰσᾶν ἀλλάλαις τε καὶ τᾷ μεγίστᾳ ποτὶ τοὺς τομέας τοὺς ἀπὸ τᾶν τῷ ἴσῳ ἀλλά- λαν ὑπερεχουσᾶν χωρὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς μεγίστας usífova λόγον ἔχοντι, ἢ τὸ τετράγωνον τὸ ἀπὸ τᾶς ΘΑ͂ ποτὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΘΑ͂, OE καὶ τὸ τρίτον μέρος τοῦ ἀπὸ τᾶς ΕΖ. ὥστε καὶ ὁ 60.4Z τομεὺς ποτὶ τὸ ἐγγεγραμ- μένον σχῆμα μείξονα λόγον ἔχει. ἥπερ ποτὶ τὸν XQ τομέα. ὥστε μείξων ó XQ τομεὺς τοῦ ἐγγεγραμμένου σχήμα- τος. οὔκ ἐστι δέ, ἀλλὰ ἐλάσσων. οὐκ ἄρα ἐστὶν οὐδὲ ἐλάσσων ὁ XG τομεὺς τοῦ περιεχομένου χωρίου ὑπό τὸ Tüg ΑΒΓΖΕ ἔἕλικος xol viv 40, OE εὐϑειᾶν. ἴσος ἄρα.

κζ΄.

Τῶν χωρίων τῶν περιεχομένων ὑπό τε τᾶν ἑλίκων καὶ τᾶν εὐθειᾶν τᾶν ἐν τᾷ περιφορᾷ τὸ μὲν τρίτον τοῦ δευτέρου διπλάσιόν ἐστι, τὸ δὲ τέταρτον τριπλά- όιον, τὸ δὲ πέμπτον τετραπλάσιον, καὶ ἀεὶ τὸ émóus- νον κατὰ τοὺς ἑξῆς ἀριϑμοὺς πολλαπλάσιον τοῦ δευ-

1. ὧν F, uulgo. 8. αἴ om. F; corr. Torellius. 4. μεας F; corr. Torellius. b. τὰν] vo» F; corr. Torellius. τῷ] addidi cum V(?); om. F, uulgo. 6. ἀψναγεγραφεται F, uulgo; ἀναγεγράφονται Torellius. 7. roptig ΕΒ. ταν μεέγισταν EF; corr. B. 8. τὰν τῷ] τῶν om. F; corr. Torellius; τῶν B

1

DE LINEIS SPIRALIBUS. 125

Θ ad spiralem ductae sunt [prop. 12], quarum maxima est 69 4, minima autem 6 E. sed aliae quoque lineae sunt, quae ἃ Θ ad ambitum sectoris 9 4Z ductae sunt, praeter lineam 60,4, numero una pauciores iis, quae aequali spatio inter se excedunt, magnitudine autem eb inter se ei maximae aequales, el in omnibus simi- les sectores consirucii sunt, in maxima autem earum, quae aequali spatio inter se excedunt, nullus construc- ius est. sectores igitur in lineis οὗ inter se et maxi- mae aequalibus consiructi ad sectores in lineis aequali spatio inter se excedentibus consiructos praeter sec- iorem in maxima construetum maiorem rationem ha- bent, quam 84:604 »« ΘΕ -᾿ 4EZ? [prop. 11 co- roll]. quare etiam sector 9 4 Z ad figuram inscriptam maiorem rationem habet quam ad sectorem X4. quare sector X«q maior est figura inscripta [Eucl. V, 10]. sed maior non est, uerum minor. itaque sector XG ne minor quidem est spatio spirali 4 ΓΖ E et lineis 49, OE comprehenso. ilaque aequalis est.

XXVII.

Spatiorum comprehensorum spiralibus et lineis, quae in circumactione sunt, tertium duplo maius est secundo, quartum uero triplo maius, quintum uero quadruplo maius, eti semper deinceps insequens spa- lium toties multiplex erit, quàm spatium secundum,

—- LA ——M — —— ——— — ------.-.- .

manu 2. 10. τῷ] om. F; corr. B. 18. OE] AE F; corr. Β.

14. ὥστε] sevo per comp. F; corr. BC. 16. προς per comp. F; corr. Torellius. ΧΑ] scripsi cum Cr; X F, uulgo, ut lin. 16, 18. 20. cx Εἰ; corr. Torellius. 21. λα΄ F. 23. τρέτον] y F, et sic semper in hac propositione, nisi quod interdum scribitur α΄ (p. 126